B11: Известно, что log_n m = 2 и log_n k = 5. Найдите значение выражения log_m (k √ n) + n^{-log_n(log_m n)} - log_n (log_m n) + 3log_m k. Ответ умножьте на 16.

Решение:

1. Перепишем данное выражение, используя свойства логарифмов.
2. \( log_m (k √ n) = log_m k + log_m √ n = log_m k + \frac{1}{2} log_m n \)
3. \( log_m n = \frac{log_n n}{log_n m} = \frac{1}{2} \)
4. \( log_m k = \frac{log_n k}{log_n m} = \frac{5}{2} \)
5. Подставим найденные значения: \( log_m (k √ n) = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{4} = \frac{10+1}{4} = \frac{11}{4} \)
6. \( n^{-log_n(log_m n)} = n^{-log_n(1/2)} = n^{log_n 2} = 2 \)
7. \( log_n (log_m n) = log_n (1/2) = -log_n 2 \)
8. \( 3log_m k = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} \)
9. Соберем все части выражения: \( \frac{11}{4} + 2 - (-log_n 2) + \frac{15}{2} = \frac{11}{4} + 2 + log_n 2 + \frac{30}{4} = \frac{41}{4} + 2 + log_n 2 = \frac{49}{4} + log_n 2 \)
10. Ошибка в интерпретации условия. Перечитываем:
11. Дано: \( log_n m = 2 \), \( log_n k = 5 \).
12. Выражение: \( log_m (k √ n) + n^{-log_n(log_m n)} - log_n (log_m n) + 3log_m k \)
13. Из \( log_n m = 2 \) следует \( m = n^2 \).
14. Из \( log_n k = 5 \) следует \( k = n^5 \).
15. \( log_m n = \frac{1}{log_n m} = \frac{1}{2} \)
16. \( log_m k = \frac{log_n k}{log_n m} = \frac{5}{2} \)
17. \( log_m √ n = log_m n^{1/2} = \frac{1}{2} log_m n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
18. \( log_m (k √ n) = log_m k + log_m √ n = \frac{5}{2} + \frac{1}{4} = \frac{11}{4} \)
19. \( log_n (log_m n) = log_n (1/2) \)
20. \( n^{-log_n(log_m n)} = n^{-log_n(1/2)} = n^{log_n 2} = 2 \)
21. Выражение: \( \frac{11}{4} + 2 - log_n(1/2) + 3 \cdot \frac{5}{2} \)
22. \( = \frac{11}{4} + 2 - (log_n 1 - log_n 2) + \frac{15}{2} \)
23. \( = \frac{11}{4} + 2 - (0 - log_n 2) + \frac{30}{4} \)
24. \( = \frac{11}{4} + 2 + log_n 2 + \frac{30}{4} = \frac{41}{4} + 2 + log_n 2 = \frac{49}{4} + log_n 2 \)
25. Пересматриваем условие. Возможно, есть ошибка в OCR или условие сложное.
26. Попробуем упростить само выражение, не подставляя сразу значения:
27. \( log_m(k √ n) = log_m k + log_m n^{1/2} = log_m k + \frac{1}{2} log_m n \)
28. \( log_m n = \frac{1}{log_n m} \)
29. \( log_m k = \frac{log_n k}{log_n m} \)
30. \( log_m(k √ n) = \frac{log_n k}{log_n m} + \frac{1}{2 log_n m} \)
31. \( n^{-log_n(log_m n)} = n^{-log_n(\frac{1}{log_n m})} = n^{log_n(log_n m)} = log_n m \)
32. \( -log_n (log_m n) = -log_n (\frac{1}{log_n m}) = log_n (log_n m) \)
33. \( 3log_m k = 3 \frac{log_n k}{log_n m} \)
34. Суммируем:
35. \( \frac{log_n k}{log_n m} + \frac{1}{2 log_n m} + log_n m + log_n (log_n m) + 3 \frac{log_n k}{log_n m} \)
36. \( = 4 \frac{log_n k}{log_n m} + \frac{1}{2 log_n m} + log_n m + log_n (log_n m) \)
37. Подставляем значения: \( log_n m = 2 \), \( log_n k = 5 \)
38. \( = 4 \frac{5}{2} + \frac{1}{2 · 2} + 2 + log_n 2 \)
39. \( = 4 · \frac{5}{2} + \frac{1}{4} + 2 + log_n 2 \)
40. \( = 10 + \frac{1}{4} + 2 + log_n 2 = 12 + \frac{1}{4} + log_n 2 = \frac{49}{4} + log_n 2 \)
41. Проверка условия: