B12: Найдите произведение наименьшего целого положительного числа на наибольшее целое отрицательное число из области определения функции f(x) = √(7 • 5^x - 175 • 5^{3x} + 2) / 2026.

Решение:

Область определения функции \( f(x) = \frac{√(7 • 5^x - 175 • 5^{3x} + 2)}{2026} \) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 7 • 5^x - 175 • 5^{3x} + 2 ≥ 0 \).

Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение принимает вид: \( 7y - 175y^3 + 2 ≥ 0 \) или \( 175y^3 - 7y - 2 ≥ 0 \).

Найдем корни уравнения \( 175y^3 - 7y - 2 = 0 \). Легко заметить, что \( y = -1/5 \) является корнем, так как \( 175(-1/125) - 7(-1/5) - 2 = -175/125 + 7/5 - 2 = -7/5 + 7/5 - 2 = -2 ≠ 0 \). Это не корень. Попробуем \( y=1/5 \).

\( 175(1/125) - 7(1/5) - 2 = 175/125 - 7/5 - 2 = 7/5 - 7/5 - 2 = -2 ≠ 0 \).

Попробуем \( y = 1/7 \): \( 175(1/343) - 7(1/7) - 2 = 175/343 - 1 - 2 = (25 · 7)/(49 · 7) - 3 = 25/49 - 3 < 0 \).

Попробуем \( y = -1/7 \): \( 175(-1/343) - 7(-1/7) - 2 = -175/343 + 1 - 2 = -25/49 - 1 < 0 \).

Перечитаем условие: