B2. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне, ∠D = 60°, AD = 20 см, BC = 10 см. Найдите периметр трапеции.

Считаем AD и BC основаниями, как в обозначениях предыдущего задания; равные боковые стороны — AB и CD. Разность оснований равна \(20-10=10\) см, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 5 см.

Из угла D = 60° получаем для боковой стороны CD прямоугольный треугольник с прилежащим катетом 5 см. Тогда \(CD=5:\cos 60°=10\) см. В равнобедренной трапеции \(AB=CD=10\) см.

Проверка условия о перпендикулярности: если разместить точки как \(A(0,0), D(20,0), B(5,5\sqrt3), C(15,5\sqrt3)\), то \(\overrightarrow{AC}=(15,5\sqrt3)\), \(\overrightarrow{CD}=(-5,-5\sqrt3)\); их скалярное произведение равно \(-75-75=-150\), то есть не нулю. Однако для стороны CD, направленной от C к D, это всё равно не даёт перпендикулярности. Значит, указанное условие «AC перпендикулярна боковой стороне» противоречит остальным данным при основаниях AD и BC.

При заданных основаниях и угле D длины боковых сторон и периметр определяются однозначно, но условие о перпендикулярности диагонали несовместимо с ними. По этим основаниям и углу периметр составляет \(20+10+10+10=50\) см.

Ответ: данные противоречивы; без условия о перпендикулярности периметр равен 50 см.