B2. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и противолежащий стороне а угол \( \alpha = 30^{\circ} \). Найдите остальные два угла и третью сторону.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.

1. Находим угол \( \beta \) против стороны \( b \):

По теореме синусов: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \)

\( \frac{6}{\sin 30^{\circ}} = \frac{8}{\sin \beta} \)

\( \sin 30^{\circ} = 0.5 \)

\( \frac{6}{0.5} = \frac{8}{\sin \beta} \)

\( 12 = \frac{8}{\sin \beta} \)

\( \sin \beta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

\( \beta = \arcsin(\frac{2}{3}) \approx 41.8^{\circ} \)

2. Находим угол \( \gamma \) против стороны \( c \):

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\( \gamma = 180^{\circ} - \alpha - \beta \)

\( \gamma = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 41.8^{\circ} = 108.2^{\circ} \)

3. Находим третью сторону \( c \) по теореме синусов:

\( \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha} \)

\( \frac{c}{\sin 108.2^{\circ}} = 12 \)

\( c = 12 + \sin 108.2^{\circ} \)

\( \sin 108.2^{\circ} \approx 0.95 \)

\( c = 12 + 0.95 = 11.4 \) см

Ответ: Угол \( \beta \) \( \approx 41.8^{\circ} \), угол \( \gamma \) \( \approx 108.2^{\circ} \), сторона \( c \) \( \approx 11.4 \) см.