B9. На точки А к окружности проведены касательные AN и AP, при этом \( \angle NAP = 120^{\circ} \). Радиус окружности равен 9 см. Тогда AN =

Решение:

Рассмотрим треугольник ANO. Так как AN — касательная, то радиус OA перпендикулярен касательной AN. Следовательно, \( \angle OAN = 90^{\circ} \). Точно так же \( \angle OAP = 90^{\circ} \). В четырехугольнике OANP сумма углов равна \( 360^{\circ} \). Значит, \( \angle NOP = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Треугольник ANO является прямоугольным. Отрезок AO является биссектрисой \( \angle NAP \) и \( \angle NOP \) (так как ANO P — равнобедренная трапеция с \( AN = AP \) и \( ON = OP \)). Поэтому \( \angle NAO = \frac{1}{2} \angle NAP = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \) и \( \angle NOA = \frac{1}{2} \angle NOP = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ANO, \( \tan(\angle NAO) = \frac{ON}{AN} \) или \( \tan(60^{\circ}) = \frac{9}{AN} \). \( \sqrt{3} = \frac{9}{AN} \) \( AN = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 3\sqrt{3} \) см