11. Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Сколько у бабушки внуков?

Пусть количество внуков равно $x$, а количество конфет равно $y$. Из условия задачи мы можем составить два уравнения: 1. Если бы конфет было на 15 больше, то их можно было бы разделить поровну. Это значит, что $y + 15$ делится на $x$ без остатка. То есть, существует целое число $n_1$, такое что: $y + 15 = n_1 cdot x$ 2. Если бы конфет было на 9 больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Это значит, что $y + 9$ при делении на $x$ даёт остаток 1. То есть, существует целое число $n_2$, такое что: $y + 9 = n_2 cdot x + 1$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = n_2 cdot x + 1 - 9$ $y = n_2 cdot x - 8$ Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $n_2 cdot x - 8 + 15 = n_1 cdot x$ $n_2 cdot x + 7 = n_1 cdot x$ $7 = n_1 cdot x - n_2 cdot x$ $7 = (n_1 - n_2) cdot x$ Так как $x$ - это количество внуков, то это должно быть целое положительное число. Число 7 можно представить в виде произведения двух целых чисел только двумя способами: $7 = 1 \cdot 7$ или $7 = 7 \cdot 1$. Так как $x$ - количество внуков, то $x$ может быть либо 1, либо 7. Если $x = 1$, то это означает, что внук всего один, что не имеет смысла в контексте задачи (деление конфет между внуками). Следовательно, $x = 7$. Тогда $n_1 - n_2 = 1$. $x = 7$ Подставим $x = 7$ в уравнение $y = n_2 cdot x - 8$: $y = 7n_2 - 8$ Теперь подставим $x = 7$ в уравнение $y + 15 = n_1 x = (n_2 + 1) cdot x$: $y + 15 = (n_2 + 1) cdot 7$ $y + 15 = 7n_2 + 7$ $y = 7n_2 - 8$ Если $n_2 = 2$, то $y = 7 cdot 2 - 8 = 14 - 8 = 6$ Проверим: $6 + 15 = 21$. $21 / 7 = 3$. Всё сходится. $6 + 9 = 15$. $15 / 7 = 2$ (остаток 1). Всё сходится. Ответ: У бабушки 7 внуков.