Пусть количество внуков равно $$x$$, а количество конфет равно $$y$$.
Из условия задачи мы можем составить два уравнения:
1. Если бы конфет было на 15 больше, то их можно было бы разделить поровну. Это значит, что $$y + 15$$ делится на $$x$$ без остатка. То есть, существует целое число $$n_1$$, такое что:
$$y + 15 = n_1 cdot x$$
2. Если бы конфет было на 9 больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Это значит, что $$y + 9$$ при делении на $$x$$ даёт остаток 1. То есть, существует целое число $$n_2$$, такое что:
$$y + 9 = n_2 cdot x + 1$$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y = n_2 cdot x + 1 - 9$$
$$y = n_2 cdot x - 8$$
Подставим это выражение для $$y$$ в первое уравнение:
$$n_2 cdot x - 8 + 15 = n_1 cdot x$$
$$n_2 cdot x + 7 = n_1 cdot x$$
$$7 = n_1 cdot x - n_2 cdot x$$
$$7 = (n_1 - n_2) cdot x$$
Так как $$x$$ - это количество внуков, то это должно быть целое положительное число. Число 7 можно представить в виде произведения двух целых чисел только двумя способами: $$7 = 1 \cdot 7$$ или $$7 = 7 \cdot 1$$. Так как $$x$$ - количество внуков, то $$x$$ может быть либо 1, либо 7. Если $$x = 1$$, то это означает, что внук всего один, что не имеет смысла в контексте задачи (деление конфет между внуками). Следовательно, $$x = 7$$.
Тогда $$n_1 - n_2 = 1$$.
$$x = 7$$
Подставим $$x = 7$$ в уравнение $$y = n_2 cdot x - 8$$:
$$y = 7n_2 - 8$$
Теперь подставим $$x = 7$$ в уравнение $$y + 15 = n_1 x = (n_2 + 1) cdot x$$:
$$y + 15 = (n_2 + 1) cdot 7$$
$$y + 15 = 7n_2 + 7$$
$$y = 7n_2 - 8$$
Если $$n_2 = 2$$, то $$y = 7 cdot 2 - 8 = 14 - 8 = 6$$
Проверим:
$$6 + 15 = 21$$. $$21 / 7 = 3$$. Всё сходится.
$$6 + 9 = 15$$. $$15 / 7 = 2$$ (остаток 1). Всё сходится.
Ответ: У бабушки 7 внуков.