Бабушка решила разделить пряники между внуками поровну. Она подсчитала, что если бы пряников было на 14 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы пряников было на 5 штук больше, то после деления поровну осталось бы два лишних пряника. Сколько у бабушки внуков?

Пусть x - количество внуков у бабушки, а y - количество пряников, которое она имеет. Из условия задачи можно составить следующую систему уравнений: 1) Если бы пряников было на 14 больше, то их можно было бы разделить поровну, т.е. $$\frac{y + 14}{x}$$ - целое число. Это означает, что $$y + 14$$ делится на x без остатка. 2) Если бы пряников было на 5 больше, то после деления поровну осталось бы 2 лишних пряника, т.е. $$\frac{y + 5}{x} = n + \frac{2}{x}$$ где n - целое число. Следовательно, $$y + 5 = nx + 2$$, или $$y + 3 = nx$$. То есть, $$y + 3$$ делится на x без остатка. Выразим первое условие: $$y + 14 = kx$$, где k - целое число. Тогда $$y = kx - 14$$. Подставим это во второе условие: $$kx - 14 + 3 = nx$$, то есть $$kx - 11 = nx$$ или $$kx - nx = 11$$, то есть $$(k - n)x = 11$$. Так как x - количество внуков, то это целое число. Число 11 является простым числом, и его делителями являются 1 и 11. Если предположить, что $$x = 1$$, то $$k - n = 11$$. Это означает, что у бабушки всего 1 внук, что звучит нелогично в контексте задачи. Если предположить, что $$x = 11$$, то $$k - n = 1$$. Это выглядит более правдоподобно. Итак, у бабушки 11 внуков. Теперь найдем количество пряников. $$y + 3 = nx$$, то есть $$y = nx - 3$$. $$y + 14 = kx$$, то есть $$y = kx - 14$$. Следовательно, $$nx - 3 = kx - 14$$, то есть $$kx - nx = 11$$, или $$(k - n)x = 11$$. Мы уже знаем, что $$x = 11$$, значит $$k - n = 1$$. Допустим, что n = 3, тогда $$y = 3 * 11 - 3 = 30$$. Проверим: Если бы было 30 + 14 = 44 пряника, то 44/11 = 4 пряника каждому. Если бы было 30 + 5 = 35 пряников, то 35/11 = 3 и 2 в остатке. Решение: 1. $$(k - n)x = 11$$ 2. $$x = 11$$ Ответ: **11 внуков**