5. (1 балл) Найдите углы треугольника АВС, если известно, что он равнобедренный с основанием АС и при пересечении биссектрис углов В и с образовались углы, один из которых равен 78°.

Пусть треугольник ABC равнобедренный, AB = BC, и углы при основании AC равны.

Пусть биссектрисы углов B и C пересекаются в точке O.

Рассмотрим два случая: ∠BOC = 78° или ∠BOC - смежный с ним.

Случай 1: ∠BOC = 78°

Тогда ∠OBC + ∠OCB = 180° - 78° = 102°

Т.к. BO и CO - биссектрисы, то ∠ABC + ∠BCA = 2 * 102° = 204°. Что невозможно в треугольнике.

Случай 2: ∠BOC смежный с углом в 78°. Тогда ∠BOC = 180° - 78° = 102°

Тогда ∠OBC + ∠OCB = 180° - 102° = 78°

Т.к. BO и CO - биссектрисы, то ∠ABC + ∠BCA = 2 * 78° = 156°

Тогда ∠BAC = 180° - 156° = 24°

Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠BCA = 156° / 2 = 78°

Ответ: Углы треугольника ABC равны 24°, 78°, 78°.