4. (1 балл) В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки К и 1 соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры КН и LP к прямой DF, причём КН = LP, ∠DKH = ∠PLF. Докажите, что DE = EF.

Рассмотрим треугольники DKH и PLF.

KH = LP (по условию)

∠DKH = ∠PLF (по условию)

∠DHK = ∠PLF = 90° (так как KH и LP - перпендикуляры)

Следовательно, треугольники DKH и PLF равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что DK = PF.

Обозначим DH = x, тогда FP = x.

Тогда DF = DH + HF = FP + HK = x + HF

Рассмотрим треугольники DFE. Опустим высоту FQ на сторону DE. Треугольники FQE и DKH подобны.

Т.к. KH = LP, то треугольник DEF равнобедренный и DE = EF