5. (3 балла) Автобусы составляют всех машин автопарка, грузовые машины оставшегося. Еще в автопарке есть 55 легковых машины. Сколько всего машин в автопарке?

Пусть x - общее количество машин в автопарке.

Автобусы составляют \(\frac{5}{14}x\) всех машин.

Остаток машин после автобусов: \(x - \frac{5}{14}x = \frac{9}{14}x\)

Грузовые машины составляют \(\frac{7}{18}\) от остатка, то есть \(\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14}x = \frac{1}{4}x\)

Легковые машины составляют оставшиеся машины, которых 55.

Тогда можно составить уравнение:

\(\frac{5}{14}x + \frac{1}{4}x + 55 = x\)

Умножим обе части уравнения на 28, чтобы избавиться от дробей:

\(10x + 7x + 1540 = 28x\)

\(17x + 1540 = 28x\)

\(28x - 17x = 1540\)

\(11x = 1540\)

\(x = \frac{1540}{11} = 140\)

Тогда, 140 - это первоначальное число.

Проверяем:
\(140 \cdot \frac{5}{14} = 50 \) - автобусы;
\(140-50 = 90 \) - остаток;
\(90 \cdot \frac{7}{18} = 35\) - грузовики;
\(50 + 35 + 55 = 140\) - всего;

Что-то пошло не так. Решаем правильно:

Пусть x - общее количество машин в автопарке.

Автобусы составляют \(\frac{5}{14}x\) всех машин.

Остаток машин после автобусов: \(x - \frac{5}{14}x = \frac{9}{14}x\)

Грузовые машины составляют \(\frac{7}{18}\) от остатка, то есть \(\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14}x = \frac{1}{4}x\)

Легковые машины составляют оставшиеся машины, которых 55.

Тогда можно составить уравнение:

\(\frac{9}{14}x \cdot \frac{7}{18} = \frac{1}{4}x\) - составляют грузовики

Тогда \(\frac{9}{14}x - \frac{1}{4}x\) - составляют 55 легковые

Тогда: \(\frac{9}{14}x - \frac{1}{4}x = 55\)

Общий знаменатель 28, умножаем каждый член уравнения:

\(18x - 7x = 55 \cdot 4\)

\(11x = 55 \cdot 4\)

\(x = 5 \cdot 14 = 70\) - составляют 70 машин (9/14)

И теперь находим общее число:
\(70 \cdot 14 = 980 : 9 = 108,88\)

Снова что-то не так...

Ладно, решаем по последней схеме:

Пусть x - общее количество машин в автопарке.

Автобусы составляют \(\frac{5}{14}x\) всех машин.

Остаток машин после автобусов: \(x - \frac{5}{14}x = \frac{9}{14}x\)

Грузовые машины составляют \(\frac{7}{18}\) от остатка, то есть \(\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14}x = \frac{1}{4}x\)

Легковые машины составляют: \(x - (\frac{5}{14}x + \frac{1}{4}x ) = x - \frac{17}{28}x = \frac{11}{28}x\)

Тогда \(\frac{11}{28}x = 55\)

Тогда \(x = \frac{55 \cdot 28}{11} = 5 \cdot 28 = 140\)