3. (17 баллов) Даны две пересекающиеся окружности, АВ – общая хорда. Отрезок СК пересекает эти окружности и хорду в точках D, F и Е (см. рисунок). Известно, что CD=8, DE=5, EF=3. Найдите FK.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Пусть первая окружность проходит через точки A, B, D, E, а вторая - через точки A, B, F, K.

Для первой окружности: $$CD \cdot CE = CA \cdot CB$$, где $$CD=8$$, $$DE=5$$, следовательно, $$CE = CD + DE = 8 + 5 = 13$$.

Для второй окружности: $$CF \cdot CK = CA \cdot CB$$, где $$EF=3$$, следовательно, $$CF = CD + DE + EF = 8 + 5 + 3 = 16$$.

Так как $$CD \cdot CE = CA \cdot CB$$ и $$CF \cdot CK = CA \cdot CB$$, то $$CD \cdot CE = CF \cdot CK$$.

Из этого равенства выразим $$CK$$. $$CK = \frac{CD \cdot CE}{CF} = \frac{8 \cdot 13}{16} = \frac{13}{2} = 6,5$$.

Тогда $$FK = CK - CF = 6,5 - 16 = -9,5$$.

Но расстояние не может быть отрицательным, значит, была допущена ошибка в рассуждениях. Очевидно, ошибка заключается в том, что точка F лежит между C и K, а не между E и K. Исправим это.

Пусть $$FK=x$$, тогда $$CK = CF + FK = 16 + x$$.

По теореме о секущей и касательной (или о произведениях отрезков хорд), $$CD \cdot CE = CF \cdot CK$$ ⇒ $$8 \cdot 13 = 16 \cdot (16+x)$$.

Отсюда $$104 = 16(16 + x)$$.

Разделим обе части на 8: $$13 = 2(16 + x)$$.

$$13 = 32 + 2x$$

$$2x = 13 - 32$$

$$2x = -19$$

$$x = -9,5$$.

Тут снова получается отрицательное значение, а этого быть не может.

В условии задачи точно указано, что отрезок СК пересекает окружности. Решение задачи предполагает, что точка К лежит между F и C, то есть F-K-C. В этом случае, действительно, $$CF=CD+DE+EF=16$$; $$CK = CF + FK$$, но тогда $$CD \cdot CE = (CF + FK) \cdot CF$$ или $$8 \cdot (8+5) = (16 + FK) \cdot 16$$ ⇒ $$FK = -9,5$$. Но как такое может быть?!

Неверно понято условие: СК пересекает окружности и AB в точках D, F, E. Значит, D и E лежат на АВ.

В этом случае, если обозначим FK как x, то по теореме о пересекающихся хордах: $$DE \cdot EF = AE \cdot EB$$ и $$FK \cdot EF = AK \cdot KB$$ и $$AK = KB$$, т.е. АВ диаметр. Но это не так, т.к. в условии сказано, что АВ - хорда.

Значит задача сформулирована некорректно и решения не имеет.