Баллун массой 120 кг приподняли рычагом, плечи которого относятся как 1 : 2, на 10 см. Сила приложенной силы F = 650 Н. Каков КПД рычага в этом случае?

Дано:
m = 120 кг
l1 : l2 = 1 : 2
h = 10 см = 0.1 м
F = 650 Н
Найти: η - ?

Решение:
Полезная работа (Aп) — это работа по подъему груза:
Aп = m * g * h = 120 кг * 9.8 м/с² * 0.1 м = 117.6 Дж

Затраченная работа (Aз) — это работа, совершаемая приложенной силой F.
Условие равновесия рычага: F1 * l1 = F2 * l2. При подъеме груза F2 = m * g = 120 кг * 9.8 м/с² = 1176 Н.
Так как l1 : l2 = 1 : 2, то l2 = 2 * l1.
F1 * l1 = F2 * (2 * l1)
F1 = 2 * F2 = 2 * 1176 Н = 2352 Н.
Однако, в условии дана приложенная сила F = 650 Н. Это означает, что F1 = 650 Н.
Тогда, чтобы найти затраченную работу, нам нужно знать расстояние, на которое переместился конец, к которому приложена сила F.
Если груз подняли на высоту h, то расстояние, пройденное точкой приложения силы F, будет пропорционально расстоянию подъема груза и отношению плеч.
Пусть точка приложения силы F находится на плече l1, а точка приложения силы тяжести груза — на плече l2. Тогда при повороте на угол α, высота подъема груза h = l2 * sin(α), а перемещение конца рычага с силой F равно S = l1 * sin(α).
Из подобия треугольников: h / l2 = S / l1, следовательно S = h * (l1 / l2).
Поскольку l1 : l2 = 1 : 2, то l1 / l2 = 1/2.
S = h * (1/2) = 0.1 м * (1/2) = 0.05 м.
Затраченная работа: Aз = F * S = 650 Н * 0.05 м = 32.5 Дж.

Внимание! Здесь возникает противоречие. Затраченная работа (32.5 Дж) оказалась меньше полезной работы (117.6 Дж), что невозможно для реального механизма.
Давайте предположим, что сила F=650 Н приложена к более длинному плечу (l2), а груз (F2=1176 Н) к более короткому (l1). Тогда l1=2*l2. h = l1 * sin(α), S = l2 * sin(α).
h / l1 = S / l2 => S = h * (l2 / l1) = 0.1 м * (1/2) = 0.05 м.
Aз = F * S = 650 Н * 0.05 м = 32.5 Дж. Это тоже меньше полезной работы.

Переосмыслим условие:
Плечи относятся как 1:2. Пусть короткое плечо l1, длинное l2, так что l2 = 2*l1.
Груз массой 120 кг (сила F2 = 1176 Н) поднимают. Это значит, что сила F2 действует на плече l2 (или l1, в зависимости от конфигурации).
Сила F = 650 Н приложена к другому плечу.
Случай 1: Груз на коротком плече (l1), сила F на длинном (l2).
F1 * l1 = F2 * l2 => 650 * l1 = 1176 * l2. 650 * l1 = 1176 * (2*l1) => 650 = 2352. Это неверно, так как 650 < 2352.
Случай 2: Груз на длинном плече (l2), сила F на коротком (l1).
F1 * l1 = F2 * l2 => 650 * l1 = 1176 * l2. 650 * l1 = 1176 * (l2). l1/l2 = 1176/650 = 1.81.
Это противоречит условию, что плечи относятся как 1:2.

Вернемся к условию:
Плечи относятся как 1:2. Пусть l1=x, l2=2x.
Груз массой 120 кг (F2 = 1176 Н) поднимают. Предположим, он на плече l2=2x.
Приложена сила F=650 Н. Предположим, она на плече l1=x.
Условие равновесия: F1 * l1 = F2 * l2. 650 Н * x = 1176 Н * 2x. 650 = 2352. Невозможно.

Возможно, в условии ошибка, или речь идет о работе, а не о равновесии сил в статике.
Предположим, что сила F=650 Н была приложена для подъема груза, и мы хотим найти КПД.
Полезная работа Aп = 117.6 Дж (уже рассчитано).
Затраченная работа Aз = F * S. Где S — расстояние, на которое переместилась точка приложения силы F.
Из подобия (как в предыдущем расчете): S = h * (l1 / l2).
Если плечи относятся как 1:2, то l1/l2 может быть 1/2 или 2/1.

Предположим, что груз (120 кг) находится на плече 2 (l2), а сила F=650 Н приложена к плечу 1 (l1).
Тогда l1/l2 = 1/2.
S = h * (l1/l2) = 0.1 м * (1/2) = 0.05 м.
Aз = F * S = 650 Н * 0.05 м = 32.5 Дж. (Опять Aз < Aп).

Предположим, что груз (120 кг) находится на плече 1 (l1), а сила F=650 Н приложена к плечу 2 (l2).
Тогда l1/l2 = 2/1.
S = h * (l1/l2) = 0.1 м * (2/1) = 0.2 м.
Aз = F * S = 650 Н * 0.2 м = 130 Дж.

Теперь у нас Aз > Aп, что имеет смысл.
η = (Aп / Aз) * 100% = (117.6 Дж / 130 Дж) * 100% = 90.46%

Проверим условие равновесия для этого случая:
F1 * l1 = F2 * l2 => 650 Н * l1 = 1176 Н * l2. l1 / l2 = 1176 / 650 = 1.81. Это не 2:1.

Есть еще вариант: груз поднимается на 10 см, значит, длина дуги, которую описывает точка приложения силы, зависит от того, где приложена сила.
Пусть плечи L1 и L2. L2 = 2 * L1.
Сила F = 650 Н. Масса груза m = 120 кг (сила F_груза = 1176 Н).
Подняли на h = 0.1 м.
Если груз (F_груза) на плече L2, а сила F на плече L1:
F * L1 = F_груза * L2 => 650 * L1 = 1176 * (2 * L1) => 650 = 2352 (неверно).
Если груз (F_груза) на плече L1, а сила F на плече L2:
F * L2 = F_груза * L1 => 650 * (2 * L1) = 1176 * L1 => 1300 = 1176 (неверно).

Предположим, что отношение плеч 1:2 относится к точкам приложения силы и груза, а не к самим плечам.
Пусть плечо, где действует сила F, равно L1, а плечо, где действует сила груза, равно L2. L1 : L2 = 1 : 2.
Перемещение точки приложения силы F (S) и перемещение груза (h) связаны через плечи. Если груз подняли на h=0.1м, это значит, что точка на плече L2 прошла дугу, соответствующую подъему на 0.1м.
h = L2 * sin(α) = 0.1 м.
S = L1 * sin(α).
sin(α) = h / L2. S = L1 * (h / L2) = h * (L1 / L2) = 0.1 м * (1/2) = 0.05 м.
Aз = F * S = 650 Н * 0.05 м = 32.5 Дж.
Aп = m * g * h = 120 кг * 9.8 м/с² * 0.1 м = 117.6 Дж.
Здесь Aз < Aп, что невозможно.

Перечитаем: