Баржа прошла по течению реки 25 км и, повернув обратно, прошла ещё 21 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Анализ задачи:

В этой задаче нам нужно найти собственную скорость баржи. Мы знаем пройденное расстояние в обе стороны, общее время в пути и скорость течения реки.

Дано:

• Расстояние по течению = 25 км
• Расстояние против течения = 21 км
• Общее время в пути = 4 часа
• Скорость течения (vₜ) = 3 км/ч

Найти:

• Собственная скорость баржи (vₛ)

Решение:

1. Скорость баржи по течению: собственная скорость + скорость течения.

\[ v_{по течению} = vₛ + vₜ = vₛ + 3 \)

2. Скорость баржи против течения: собственная скорость - скорость течения.

\[ v_{против течения} = vₛ - vₜ = vₛ - 3 \)

3. Время движения по течению: Расстояние / скорость по течению.

\[ t_{по течению} = \frac{25}{vₛ + 3} \)

4. Время движения против течения: Расстояние / скорость против течения.

\[ t_{против течения} = \frac{21}{vₛ - 3} \)

5. Общее время: Время по течению + время против течения.

\[ t_{по течению} + t_{против течения} = 4 \)

\[ \frac{25}{vₛ + 3} + \frac{21}{vₛ - 3} = 4 \)

6. Решим уравнение:

Приведем дроби к общему знаменателю (vₛ + 3)(vₛ - 3) = vₛ^2 - 9:

\[ \frac{25(vₛ - 3) + 21(vₛ + 3)}{(vₛ + 3)(vₛ - 3)} = 4 \)

\[ \frac{25vₛ - 75 + 21vₛ + 63}{vₛ^2 - 9} = 4 \)

\[ \frac{46vₛ - 12}{vₛ^2 - 9} = 4 \)

\[ 46vₛ - 12 = 4(vₛ^2 - 9) \)

\[ 46vₛ - 12 = 4vₛ^2 - 36 \)

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 4vₛ^2 - 46vₛ - 36 + 12 = 0 \)

\[ 4vₛ^2 - 46vₛ - 24 = 0 \)

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

\[ 2vₛ^2 - 23vₛ - 12 = 0 \)

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант (D = b² - 4ac):

\[ a = 2, b = -23, c = -12 \)

\[ D = (-23)^2 - 4(2)(-12) = 529 + 96 = 625 \)

\[ \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \)

Найдем корни:

\[ vₛ = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\[ vₛ = \frac{23 \pm 25}{2 \times 2} \)

\[ vₛ = \frac{23 \pm 25}{4} \)

Два возможных значения:

\[ vₛ1 = \frac{23 + 25}{4} = \frac{48}{4} = 12 \text{ км/ч} \)

\[ vₛ2 = \frac{23 - 25}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \text{ км/ч} \)

8. Выберем подходящий корень: Скорость не может быть отрицательной, поэтому собственная скорость баржи равна 12 км/ч.

Проверка:

• Скорость по течению: 12 + 3 = 15 км/ч
• Скорость против течения: 12 - 3 = 9 км/ч
• Время по течению: 25 / 15 = 5/3 часа
• Время против течения: 21 / 9 = 7/3 часа
• Общее время: 5/3 + 7/3 = 12/3 = 4 часа. Все верно!

Ответ: 12 км/ч