Билет № 4

1. Четырехугольник. Сумма углов четырехугольника.

Определение: Четырехугольник — это многоугольник, имеющий четыре стороны, четыре вершины и четыре угла.

Сумма углов четырехугольника: Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD.

Проведем диагональ AC. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника: ABC и ADC.

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно:

• Сумма углов треугольника ABC: $$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$$
• Сумма углов треугольника ADC: $$\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180^\circ$$

Сложим эти два уравнения:

$$(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA) + (\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA) = 180^\circ + 180^\circ$$

Преобразуем левую часть, сгруппировав углы четырехугольника:

$$(\angle BAC + \angle DAC) + \angle ABC + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle ADC = 360^\circ$$

Заметим, что $$\angle BAC + \angle DAC = \angle BAD$$ и $$\angle BCA + \angle DCA = \angle BCD$$. Тогда:

$$\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ$$

Таким образом, сумма углов четырехугольника ABCD равна 360 градусам.

2. Свойство касательной к окружности (формулировка и доказательство).

Формулировка: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке O и касательная a, касающаяся окружности в точке A.

Предположим, что касательная a не перпендикулярна радиусу OA. Тогда угол между OA и a не прямой.

Проведем из точки O перпендикуляр OB к касательной a. Точка B будет отлична от точки A, так как OA не перпендикулярна a.

Так как OB перпендикулярна a, то OB - кратчайшее расстояние от точки O до прямой a. Значит, OB < OA.

Но OA - это радиус окружности. Следовательно, точка B лежит внутри окружности, а не на касательной. Это противоречит определению касательной, так как касательная должна иметь только одну общую точку с окружностью.

Таким образом, наше предположение неверно, и касательная a перпендикулярна радиусу OA.

Вывод: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

3. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство:

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно как точки E, F, G и H.

Рассмотрим отрезок EF. Так как E и F - середины сторон AB и BC, то EF - средняя линия треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, EF параллельна AC и равна половине AC: $$EF || AC$$ и $$EF = \frac{1}{2}AC$$.

Аналогично, рассмотрим отрезок HG. Так как H и G - середины сторон DA и CD, то HG - средняя линия треугольника ADC.

По свойству средней линии треугольника, HG параллельна AC и равна половине AC: $$HG || AC$$ и $$HG = \frac{1}{2}AC$$.

Из этого следует, что EF || HG и EF = HG. Значит, EFGH - параллелограмм, так как две его противоположные стороны параллельны и равны.

Вывод: Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.