Билет №7. 1. Что такое секущая. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Отрезок АМ-биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Доказать, что треугольник АМЕ равнобедренный.

[{"question": "1. Что такое секущая?", "answer": "**Секущая** – это прямая, пересекающая две или более прямых в разных точках. При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:

* **Соответственные углы:** углы, находящиеся по одну сторону от секущей и занимающие одинаковое положение относительно прямых.
* **Накрест лежащие углы:** углы, лежащие по разные стороны от секущей и между прямыми.
* **Односторонние углы:** углы, лежащие по одну сторону от секущей и между прямыми."}, {"question": "2. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.", "answer": "**Второй признак равенства треугольников:** Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

**Доказательство:**

Пусть даны два треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), у которых \(AB = A_1B_1\), \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Необходимо доказать, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Наложим \(\triangle ABC\) на \(\triangle A_1B_1C_1\) так, чтобы вершина \(A\) совместилась с вершиной \(A_1\), сторона \(AB\) наложилась на равную ей сторону \(A_1B_1\), и вершины \(C\) и \(C_1\) оказались по одну сторону от прямой \(A_1B_1\). Тогда вершина \(B\) совместится с вершиной \(B_1\), так как \(AB = A_1B_1\).

Поскольку \(\angle A = \angle A_1\), то сторона \(AC\) наложится на луч \(A_1C_1\), а так как \(\angle B = \angle B_1\), то сторона \(BC\) наложится на луч \(B_1C_1\). Следовательно, вершина \(C\), являющаяся точкой пересечения лучей \(AC\) и \(BC\), совместится с вершиной \(C_1\), являющейся точкой пересечения лучей \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\). Значит, треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) полностью совместятся и, следовательно, они равны."}, {"question": "3. Задача: Отрезок \(AM\) - биссектриса треугольника \(ABC\). Через точку \(M\) проведена прямая, параллельная \(AC\) и пересекающая сторону \(AB\) в точке \(E\). Доказать, что треугольник \(AME\) равнобедренный.", "answer": "**Решение:**

1. Поскольку \(AM\) - биссектриса \(\angle BAC\), то \(\angle BAM = \angle MAC\).
2. Поскольку \(ME \parallel AC\), то \(\angle EMA = \angle MAC\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(ME\) и \(AC\) и секущей \(AM\)).
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что \(\angle BAM = \angle EMA\).
4. Таким образом, в треугольнике \(AME\) углы при основании \(AM\) равны, следовательно, \(\triangle AME\) - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

**Что и требовалось доказать.**"}]