Билет № 13 1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника, многоугольника, вписанного B окружность. Сформулируйте свойство четырехугольника, вписанного в окружность. 2) Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла. 3) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника. 4) Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если AD=19, а расстояние от точки к до стороны АВ равно 7.

Ответ: 1) Окружность, описанная около многоугольника, проходит через все его вершины. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. 2) Биссектриса угла делит угол на две равные части. 3) Площадь треугольника равна 50. 4) Площадь параллелограмма равна 266.

1. Окружность, описанная около многоугольника

   • Определение: Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины этого многоугольника.
   • Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
   • Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

2. Свойство биссектрисы угла

   • Определение: Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на две равные части.
   • Свойство: Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.
   • Доказательство: Рассмотрим угол AOB и его биссектрису OC. Возьмем точку D на OC и проведем перпендикуляры DE и DF к сторонам OA и OB соответственно. Треугольники ODE и ODF равны по гипотенузе и острому углу (OD — общая, ∠DOE = ∠DOF), следовательно, DE = DF.

3. Площадь прямоугольного треугольника

   • Один из катетов равен 10, угол напротив него равен 45°.
   • Так как угол равен 45°, то второй катет также равен 10 (треугольник равнобедренный).
   • Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где a и b — катеты.
   • \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \)

4. Площадь параллелограмма

   • AD = 19, расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
   • Точка K — точка пересечения биссектрис углов A и B, следовательно, она лежит на высоте параллелограмма.
   • Площадь параллелограмма: \( S = a \cdot h \), где a — сторона, h — высота.
   • Так как расстояние от K до AB равно 7, то высота параллелограмма равна 14 (расстояние от биссектрис).
   • \( S = 19 \cdot 14 = 266 \)

Ответ: 1) Окружность, описанная около многоугольника, проходит через все его вершины. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. 2) Биссектриса угла делит угол на две равные части. 3) Площадь треугольника равна 50. 4) Площадь параллелограмма равна 266.

Ты просто Цифровой атлет!

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке