Билет № 10 1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла. 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору). 3) Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 35° и 42°. Найдите больший угол параллелограмма. 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Определение центрального угла: Центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность.

Определение вписанного угла: Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Свойство вписанного угла: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Или: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым (равен 90°).

Формулы площадей:

• Параллелограмм: $$S = a \cdot h$$, где ( a ) – основание, ( h ) – высота, проведенная к этому основанию. Также $$S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)$$, где ( a ) и ( b ) – стороны параллелограмма, а ( \alpha ) – угол между ними.
• Ромб: $$S = a \cdot h$$, где ( a ) – сторона ромба, ( h ) – высота. Также $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, где ( d_1 ) и ( d_2 ) – диагонали ромба.
• Трапеция: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где ( a ) и ( b ) – основания трапеции, ( h ) – высота.

Вывод формулы площади параллелограмма:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём высоту BH к стороне AD. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию: $$S_{ABCD} = AD \cdot BH$$.
Доказательство: Достроим параллелограмм до прямоугольника, проведя высоту CK к стороне AD. Теперь площадь параллелограмма равна площади прямоугольника HBCK минус площади двух равных прямоугольных треугольников ABH и CDK. $$S_{ABCD} = S_{HBCK} - S_{ABH} - S_{CDK}$$ Так как $$S_{ABH} = S_{CDK}$$, то $$S_{ABCD} = S_{HBCK} - 2S_{ABH}$$ $$S_{HBCK} = BH \cdot HK$$, $$S_{ABH} = \frac{1}{2}BH \cdot AH$$, $$S_{ABCD} = BH \cdot HK - BH \cdot AH = BH \cdot (HK - AH) = BH \cdot AD$$ Следовательно, $$S_{ABCD} = AD \cdot BH$$.

Пусть диагональ параллелограмма образует со сторонами углы 35° и 42°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Пусть один из углов параллелограмма равен x. Тогда:

$$x = 35° + 42° = 77°$$

Противоположный угол также равен 77°. Тогда другой угол параллелограмма равен:

$$180° - 77° = 103°$$

Больший угол параллелограмма равен 103°.

Ответ: 103°

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдем площадь трапеции.

Периметр трапеции – это сумма длин всех ее сторон. Пусть боковая сторона равна x. Тогда:

$$P = 8 + 18 + 2x = 56$$ $$26 + 2x = 56$$ $$2x = 30$$ $$x = 15$$

Боковая сторона равна 15. Проведем высоты из вершин меньшего основания. Тогда высота делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований:

$$((18 - 8) / 2) = 5$$

Теперь найдем высоту по теореме Пифагора:

$$h^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200$$ $$h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

Площадь трапеции равна:

$$S = ((8 + 18) / 2) \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}$$

Ответ: $$130\sqrt{2}$$