БИЛЕТ № 19 1. Какой треугольник называется прямоугольным? Назовите свойства прямоугольного треугольника. Сделайте рисунок. 2. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. 3. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

1. Какой треугольник называется прямоугольным? Назовите свойства прямоугольного треугольника. Сделайте рисунок.

Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90 градусам).

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора): $$a^2 + b^2 = c^2$$, где a и b - катеты, c - гипотенуза.
• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рисунок:

К сожалению, я не могу нарисовать рисунок. Вам нужно нарисовать прямоугольный треугольник, обозначив прямой угол и стороны.

2. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 прямые, AC = A1C1 и BC = B1C1.

Тогда треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

3. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Дано: (AD = AC), (angle CAB = 80^circ), (angle ACB = 59^circ)

Найти: (angle DCB)

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC. Так как (AD = AC), то треугольник ADC равнобедренный с основанием DC.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, (angle ADC = angle ACD).

3. Найдем углы (angle ADC) и (angle ACD). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому в треугольнике ADC:

$$\angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^circ$$

Так как (angle CAB = 80^circ), то (angle CAD = 80^circ). Подставим это значение в уравнение:

$$\angle ADC + \angle ACD + 80^circ = 180^circ$$

$$\angle ADC + \angle ACD = 180^circ - 80^circ$$

$$\angle ADC + \angle ACD = 100^circ$$

Так как (angle ADC = \angle ACD), то:

$$2 \cdot \angle ACD = 100^circ$$

$$\angle ACD = 50^circ$$

4. Найдем угол (angle BCD). Мы знаем, что (angle ACB = 59^circ) и (angle ACD = 50^circ). Тогда:

$$\angle DCB = \angle ACB - \angle ACD$$

$$\angle DCB = 59^circ - 50^circ$$

$$\angle DCB = 9^circ$$

Ответ: 9°