Билет 2. 1. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какой луч называется биссектрисой угла? Объясните, как построить биссектрису данного угла с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании. Най ти угол треугольника, лежащий против основания. 4. На прямой последовательно отмечены точки А,В,С,Д, причем АС=8 см, BD = 6см, ВС=3см. Найти AD.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем вопросы билета 2. **1. Что такое луч? Как обозначаются лучи? Какой луч называется биссектрисой угла? Как построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?** * **Луч** - это часть прямой, которая имеет начало (исходную точку), но не имеет конца. * Лучи обозначаются двумя буквами, где первая буква обозначает начало луча, а вторая - любую другую точку на луче, например, луч $$OA$$. * **Биссектриса угла** - это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. **Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки:** 1. Поместите острие циркуля в вершину угла (назовем ее точкой $$O$$). 2. Проведите дугу, которая пересекает обе стороны угла. Отметьте точки пересечения (назовем их $$A$$ и $$B$$). 3. Не меняя радиуса циркуля (или изменив, но одинаково для обоих случаев), поместите острие циркуля сначала в точку $$A$$, а затем в точку $$B$$, и проведите две дуги внутри угла. 4. Точка пересечения этих дуг (назовем ее $$C$$) будет лежать на биссектрисе угла. Соедините точку $$O$$ и точку $$C$$ лучом. Луч $$OC$$ - биссектриса угла $$AOB$$. **2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.** * **Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам:** Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. **Доказательство:** Пусть даны два треугольника $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, в которых $$AB = A_1B_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$ и $$\angle B = \angle B_1$$. Докажем, что $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$. Наложим $$\triangle ABC$$ на $$\triangle A_1B_1C_1$$ так, чтобы вершина $$A$$ совпала с вершиной $$A_1$$, сторона $$AB$$ наложилась на равную ей сторону $$A_1B_1$$, и вершина $$C$$ оказалась по ту же сторону от $$A_1B_1$$, что и вершина $$C_1$$. Тогда, так как $$\angle A = \angle A_1$$ и $$\angle B = \angle B_1$$, сторона $$AC$$ наложится на луч $$A_1C_1$$, а сторона $$BC$$ наложится на луч $$B_1C_1$$. Следовательно, вершина $$C$$ будет лежать как на луче $$A_1C_1$$, так и на луче $$B_1C_1$$, а значит, она совпадает с точкой пересечения этих лучей, то есть с вершиной $$C_1$$. Итак, $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ полностью совпадают, а значит, они равны. **3. В равнобедренном треугольнике дан угол при основании. Найти угол треугольника, лежащий против основания.** * В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при основании равен $$\alpha$$. Тогда два угла при основании равны $$\alpha$$. * Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$. Если два угла при основании равны $$\alpha$$, то угол, лежащий против основания, равен $$180^\circ - 2\alpha$$. **Ответ:** Угол, лежащий против основания, равен $$180^\circ - 2\alpha$$. **4. На прямой последовательно отмечены точки А, В, С, Д, причем АС=8 см, BD = 6см, ВС=3см. Найти AD.** Дано: $$AC = 8$$ см, $$BD = 6$$ см, $$BC = 3$$ см. Нужно найти: $$AD$$. Решение: 1. Найдем $$AB$$: $$AB = AC - BC = 8 - 3 = 5$$ см. 2. Найдем $$CD$$: $$CD = BD - BC = 6 - 3 = 3$$ см. 3. Теперь можем найти $$AD$$: $$AD = AB + BC + CD = 5 + 3 + 3 = 11$$ см. **Ответ:** $$AD = 11$$ см.