Билет 11

1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности.

Окружность - это геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (центра).

Центр окружности - это заданная точка, от которой равноудалены все точки окружности.

Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда окружности - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр окружности - это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Дуга окружности - это часть окружности, ограниченная двумя точками на окружности.

2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Проведём биссектрису BD.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

• AB = BC (по условию)
• BD - общая сторона
• ∠ABD = ∠CBD (BD - биссектриса)

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что ∠BAD = ∠BCD. Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Что и требовалось доказать.

3. Укажите пары параллельных прямых и докажите их параллельность.

На рисунке прямые a и c параллельны. Докажем это.

Прямая p является секущей для прямых a и c. Угол между прямой p и прямой a равен 30°. Угол между прямой p и прямой c также равен 30°.

Эти углы являются соответственными углами при пересечении прямых a и c секущей p. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, a || c.

4. Два угла треугольника относятся как 4:7, а внешний угол третьего угла равен 121°. Найдите углы треугольника.

Пусть углы треугольника равны 4x, 7x и y.

Внешний угол третьего угла равен 121°, следовательно, сам третий угол y равен:

$$y = 180° - 121° = 59°$$

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$4x + 7x + 59° = 180°$$

$$11x = 180° - 59°$$

$$11x = 121°$$

$$x = 11°$$

Тогда первый угол равен:

$$4x = 4 * 11° = 44°$$

Второй угол равен:

$$7x = 7 * 11° = 77°$$

Третий угол равен:

$$y = 59°$$

Ответ: 44°, 77°, 59°