Билет № 12 1. Ромб. Свойства диагоналей ромба. Квадрат. 2. Свойство биссектрисы угла (формулировка и доказательство). 3. Стороны прямоугольника равны 3 см и 4см. Найдите диагонали прямоугольника. 4. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Задача 3:

Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см. Найдите диагонали прямоугольника.

Решение:

Диагональ прямоугольника можно найти, используя теорему Пифагора, так как диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.

Пусть a = 3 см и b = 4 см - стороны прямоугольника, а d - его диагональ.

Тогда по теореме Пифагора:

$$d^2 = a^2 + b^2$$

$$d^2 = 3^2 + 4^2$$

$$d^2 = 9 + 16$$

$$d^2 = 25$$

$$d = \sqrt{25}$$

$$d = 5$$

Следовательно, диагональ прямоугольника равна 5 см.

Ответ: 5 см

Задача 4:

Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Решение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре равных прямоугольных треугольника.

Пусть d₁ = 10 см и d₂ = 24 см - диагонали ромба. Тогда половинки диагоналей равны d₁/2 = 5 см и d₂/2 = 12 см.

Сторону ромба a можно найти по теореме Пифагора:

$$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$

$$a^2 = 5^2 + 12^2$$

$$a^2 = 25 + 144$$

$$a^2 = 169$$

$$a = \sqrt{169}$$

$$a = 13$$

Следовательно, сторона ромба равна 13 см.

Площадь ромба можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} * d_1 * d_2$$

$$S = \frac{1}{2} * 10 * 24$$

$$S = 5 * 24$$

$$S = 120$$

Следовательно, площадь ромба равна 120 см².

Ответ: Сторона ромба равна 13 см, площадь ромба равна 120 см²