Билет № 7 1. Сформулируйте определение и свойства равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника. 2. Сформулируйте определение вертикальных углов. Докажите свойства вертикальных углов. 3. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 38см, а угол В = 60°. Найдите катет ВС. 4. AC DB. CO=OD. Доказать, что треугольники СОА и DOBравны.

Билет № 7

1. Равнобедренный треугольник: Треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

   • Свойства равнобедренного треугольника:
   • Углы при основании равны.
   • Высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

   Равносторонний треугольник: Треугольник, у которого все три стороны равны.

   • Свойства равностороннего треугольника:
   • Все углы равны 60°.
   • Высота, медиана и биссектриса, проведенные из каждой вершины, совпадают.

2. Вертикальные углы: Два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, и не являются смежными.

   • Свойства вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

   Доказательство:

   • Пусть даны две пересекающиеся прямые, образующие углы ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4.
   • Углы ∠1 и ∠3 вертикальные, а углы ∠2 и ∠4 вертикальные.
   • ∠1 + ∠2 = 180° (как смежные углы).
   • ∠2 + ∠3 = 180° (как смежные углы).
   • Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3.
   • Вычитая ∠2 из обеих частей, получаем ∠1 = ∠3.
   • Аналогично можно доказать, что ∠2 = ∠4.
   • Таким образом, вертикальные углы равны.

3. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 38 см, а угол B = 60°. Найдите катет BC.

   В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, гипотенуза AB = 38 см, ∠B = 60°.

   Нужно найти катет BC.

   Используем косинус угла B:

   \[ cos(B) = \frac{BC}{AB} \] \[ cos(60°) = \frac{BC}{38} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{38} \] \[ BC = 38 \cdot \frac{1}{2} = 19 \]

   Катет BC равен 19 см.

4. AC || DB. CO=OD. Доказать, что треугольники COA и DOB равны.

   Рассмотрим треугольники COA и DOB.

   • CO = OD (по условию).
   • ∠COA = ∠DOB (как вертикальные углы).
   • ∠OCA = ∠ODB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DB и секущей CD).

   Следовательно, треугольники COA и DOB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

   Треугольники COA и DOB равны.