Билет № 15 1) Сформулируйте теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков пересекающихся хорд. 3) Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков. 4) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках М и F соответственно. Найдите длину MF, если ВН-15.

1) Теорема Фалеса: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков, равных между собой, и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Теорема о пропорциональных отрезках: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.

2) Свойство отрезков пересекающихся хорд: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство:

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке E. Тогда AE * EB = CE * ED.

Рассмотрим треугольники ACE и DBE. Угол AEC равен углу DEB (как вертикальные). Угол CAE равен углу BDE (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC). Следовательно, треугольники ACE и DBE подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AE/ED = CE/EB, откуда AE * EB = CE * ED.

3) Решение:

Пусть ромб ABCD, где угол A = 60 градусов. Высота BH опущена из вершины тупого угла B на сторону AD.

В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 60 градусов, AB = 34 (сторона ромба).

Тогда AH = AB * cos(60°) = 34 * (1/2) = 17.

HD = AD - AH = 34 - 17 = 17.

Ответ: Отрезки равны 17 и 17.

4) Решение:

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом B. BH - высота, опущенная на гипотенузу AC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках M и F соответственно. Дано BH = 15. Нужно найти MF.

Так как BH - диаметр окружности, то углы BMB и BFB - прямые (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Значит, BM перпендикулярна AB, а BF перпендикулярна CB.

Рассмотрим четырехугольник MBFH. Углы BMF и BHF прямые. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Значит, угол MBF + угол MHF = 180 градусов. Но угол MBF = 90 градусов, следовательно, угол MHF = 90 градусов.

Так как BH - диаметр, а M и F лежат на окружности, то MF - хорда. Угол MBF = 90 градусов. Значит, MF является диаметром окружности.

Следовательно, MF = BH = 15.

Ответ: MF = 15.