Билет №7. 1. Что такое секущая. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Отрезок АМ-биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Доказать, что треугольник АМЕ равнобедренный.

Билет №7.

1. Секущая - это прямая, пересекающая две другие прямые. Пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей: соответственные, накрест лежащие, односторонние.
2. Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Рассмотрим два треугольника $$\\triangle ABC$$ и $$\\triangle A_1B_1C_1$$, у которых $$AB = A_1B_1$$, $$\\angle A = \\angle A_1$$, $$\\angle B = \\angle B_1$$. Докажем, что $$\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$$. Наложим $$\\triangle ABC$$ на $$\\triangle A_1B_1C_1$$ так, чтобы сторона $$AB$$ совместилась со стороной $$A_1B_1$$, причем вершина $$A$$ совместилась с вершиной $$A_1$$, а вершина $$B$$ - с вершиной $$B_1$$. Так как $$\\angle A = \\angle A_1$$, то сторона $$AC$$ наложится на луч $$A_1C_1$$, а так как $$\\angle B = \\angle B_1$$, то сторона $$BC$$ наложится на луч $$B_1C_1$$. Следовательно, при этом совместятся и вершины $$C$$ и $$C_1$$. Таким образом, $$\\triangle ABC$$ и $$\\triangle A_1B_1C_1$$ полностью совместятся, а это значит, что они равны.
3. Дано: $$\\triangle ABC$$, $$AM$$ - биссектриса, $$ME \\parallel AC$$. Доказать: $$\\triangle AME$$ - равнобедренный. Доказательство: $$\\angle CAM = \\angle EAM$$ (т.к. $$AM$$ - биссектриса). $$\\angle CAM = \\angle AME$$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $$ME$$ и $$AC$$ и секущей $$AM$$). Следовательно, $$\\angle EAM = \\angle AME$$. Тогда $$\\triangle AME$$ - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

Ответ: Треугольник AME равнобедренный.