Решение билета №1 по алгебре

1. Теоретические вопросы

Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных, значение которых нужно найти.

Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Равносильные уравнения – это уравнения, которые имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще.

Свойства уравнений:

• Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, не меняющее область определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Линейное уравнение с одной переменной – это уравнение вида ax + b = 0, где a и b – любые числа, а x – переменная.

Пример: 2x + 3 = 0

2. Упрощение выражений

а) (x-4)(x-5) - 2x(x-6)

Сначала раскроем скобки:

$$ (x-4)(x-5) = x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20 $$ $$ 2x(x-6) = 2x^2 - 12x $$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$$ x^2 - 9x + 20 - (2x^2 - 12x) = x^2 - 9x + 20 - 2x^2 + 12x $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ x^2 - 2x^2 - 9x + 12x + 20 = -x^2 + 3x + 20 $$

Ответ: -x² + 3x + 20

б) 5a + (a - 4) - (2a - 3)

Раскроем скобки:

$$ 5a + a - 4 - 2a + 3 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 5a + a - 2a - 4 + 3 = 4a - 1 $$

Ответ: 4a - 1

в) (c² - 3a)(3a + c²)

Раскроем скобки:

$$ (c^2 - 3a)(3a + c^2) = c^2 * 3a + c^2 * c^2 - 3a * 3a - 3a * c^2 = 3ac^2 + c^4 - 9a^2 - 3ac^2 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 3ac^2 - 3ac^2 + c^4 - 9a^2 = c^4 - 9a^2 $$

Ответ: c⁴ - 9a²

3. Решение задачи

Пусть S – расстояние между городами, t – время до встречи, v₁ – скорость легкового автомобиля, v₂ – скорость грузовика.

Тогда S = (v₁ + v₂) * t.

Нам нужно найти v₂. Выразим ее из формулы:

$$ v_2 = \frac{S}{t} - v_1 $$

Подставим известные значения: S = 200, t = 2, v₁ = 60:

$$ v_2 = \frac{200}{2} - 60 = 100 - 60 = 40 $$

Ответ: Скорость грузовика равна 40 км/ч.