Билет 5

1. Градусная мера угла, острый, прямой и тупой углы, свойства градусных мер

Градусная мера угла – это число, которое показывает, сколько раз единица измерения угла (градус) и её части укладываются в данном угле.

Острый угол – это угол, градусная мера которого меньше 90°.

Прямой угол – это угол, градусная мера которого равна 90°.

Тупой угол – это угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

Свойства градусных мер углов:

• Градусная мера развёрнутого угла равна 180°.
• Градусная мера прямого угла равна 90°.
• Градусная мера угла всегда положительна и может быть от 0° до 180°.
• Равные углы имеют равные градусные меры.
• Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

2. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и BD - биссектриса угла B. Нужно доказать, что BD является медианой (AD = DC) и высотой (BD перпендикулярна AC).

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

• AB = BC (по условию, так как треугольник ABC равнобедренный)
• ∠ABD = ∠CBD (по условию, так как BD - биссектриса угла B)
• BD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что AD = CD, а значит BD - медиана.

Также из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠CDB. Так как эти углы смежные, то их сумма равна 180°.

$$∠ADB + ∠CDB = 180°$$

$$2 * ∠ADB = 180°$$

$$∠ADB = 90°$$

Следовательно, BD перпендикулярна AC, а значит BD - высота.

Что и требовалось доказать.

3. Доказать равенство треугольников COD и AOD

Не хватает информации о расположении точек C и A, а также точки O. Если предположить, что дана диагональ ромба ABCD и O - точка пересечения диагоналей, то:

Докажем равенство треугольников COD и AOD.

В ромбе ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники COD и AOD:

• OD - общая сторона.
• AO = OC (по свойству диагоналей ромба, диагонали в точке пересечения делятся пополам).
• Угол AOD = углу COD (по свойству диагоналей ромба, диагонали пересекаются под прямым углом).

Следовательно, треугольники COD и AOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Градусные меры двух внешних углов треугольника равны и Найти третий внешний угол.

Пусть два внешних угла треугольника равны α. Сумма всех внешних углов треугольника равна 360°. Обозначим третий внешний угол как x. Тогда:

$$α + α + x = 360°$$

$$2α + x = 360°$$

$$x = 360° - 2α$$

Чтобы найти конкретное значение третьего внешнего угла, необходимо знать величину угла α.

Например, если α = 120°, то x = 360° - 2 * 120° = 360° - 240° = 120°.

Ответ: Третий внешний угол равен 360° - 2α, где α - градусная мера двух равных внешних углов. В примере, при α = 120°, третий внешний угол равен 120°.