Билет №13 1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника; многоугольника, вписанного в окружность. Назовите свойства четырехугольника, вписанного в окружность. 2) Докажите свойство биссектрисы угла. 3) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника. 4) Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 19, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 7.

Рассмотрим решение задач, представленных в билете №13. 1. Окружность, описанная около многоугольника: Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. В этом случае многоугольник называется вписанным в окружность. Свойства четырехугольника, вписанного в окружность: Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусам. \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) 2. Свойство биссектрисы угла: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон этого угла. И наоборот, каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе. Доказательство: Пусть дан угол \(\angle AOB\) и биссектриса \(OC\) этого угла. Возьмем произвольную точку \(D\) на биссектрисе \(OC\). Опустим перпендикуляры \(DE\) и \(DF\) на стороны \(OA\) и \(OB\) соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ODE\) и \(\triangle ODF\). У них: * \(OD\) - общая гипотенуза; * \(\angle DOE = \angle DOF\), так как \(OC\) - биссектриса. Следовательно, \(\triangle ODE = \triangle ODF\) по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что \(DE = DF\), то есть точка \(D\) равноудалена от сторон угла. 3. Площадь прямоугольного треугольника: Дано: Прямоугольный треугольник, один катет равен 10, угол напротив этого катета равен 45°. Найдем площадь треугольника. Обозначим катет, равный 10, как \(a\). Угол напротив этого катета равен 45°. Так как это прямоугольный треугольник, то второй острый угол также равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник является равнобедренным, и второй катет (\(b\)) также равен 10. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \(S = \frac{1}{2}ab\) Подставим значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\) Ответ: Площадь треугольника равна 50. 4. Площадь параллелограмма: Дано: Параллелограмм \(ABCD\), биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(K\), \(BC = 19\), расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно 7. Найдем площадь параллелограмма. Так как биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(K\), то точка \(K\) лежит на стороне \(AB\). Расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно высоте параллелограмма, проведенной к стороне \(AB\). Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \(S = a \cdot h\) В нашем случае, сторона \(a = BC = 19\), а высота \(h = 7\). Подставим значения: \(S = 19 \cdot 7 = 133\) Ответ: Площадь параллелограмма равна 133.