Билет №12 1) Дайте определение: окружности, вписанной в многоугольник; многоугольника, описанного около окружности. Назовите свойство описанного четырехугольника. 2) Докажите свойства диагоналей ромба. 3) Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м² и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах. 4) Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠KCB, если ∠ABC = 20°

Давайте разберем задачи из билета №12 по геометрии. Задача 1: * Окружность, вписанная в многоугольник, - это окружность, которая касается каждой стороны многоугольника. * Многоугольник, описанный около окружности, - это многоугольник, все стороны которого касаются данной окружности. Свойство описанного четырехугольника: суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Задача 2: Диагонали ромба обладают следующими свойствами: 1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 3. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Задача 3: Пусть одна сторона прямоугольного участка равна $$x$$ метров, тогда другая сторона равна $$2x$$ метров. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то есть: \[x \cdot 2x = 800\] \[2x^2 = 800\] \[x^2 = 400\] \[x = \sqrt{400} = 20\] Таким образом, одна сторона равна 20 метров, а другая сторона равна $$2 \cdot 20 = 40$$ метров. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть: \[P = 2(x + 2x) = 2(20 + 40) = 2 \cdot 60 = 120\] Ответ: Периметр прямоугольного участка земли равен 120 метрам. Задача 4: Дано: Окружность проходит через точки A и C треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны (пересекаются под прямым углом). $$\angle ABC = 20^\circ$$. Нужно найти $$\angle KCB$$. Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник AKEC. Сумма углов в четырехугольнике равна $$360^\circ$$. Так как AE и CK перпендикулярны, то $$\angle AKC = 90^\circ$$ и $$\angle AEC = 90^\circ$$. 2. $$\angle AKC + \angle AEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, около четырехугольника AKEC можно описать окружность (по свойству четырехугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов). 3. Так как точки A, K, E, C лежат на одной окружности, то $$\angle KAE = \angle KCE$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу KE). 4. Аналогично, $$\angle ACE = \angle AKE$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AE). 5. В треугольнике ABC: $$\angle ABC = 20^\circ$$. Нужно найти $$\angle KCB$$. 6. Рассмотрим треугольник BCE. $$\angle BEC = 90^\circ$$ (так как AE перпендикулярно BC). Тогда $$\angle ECB = 90^\circ - \angle EBC = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$$. 7. $$\angle KCB = \angle ECB = 70^\circ$$. Ответ: $$\angle KCB = 70^\circ$$. Развернутый ответ для школьника: Мы рассмотрели задачи из билета по геометрии. Первая задача требовала вспомнить определения вписанной и описанной окружностей, а также свойства описанного четырехугольника. Во второй задаче мы перечислили основные свойства диагоналей ромба. Третья задача была на нахождение периметра прямоугольного участка, где одна сторона в два раза больше другой. Мы использовали формулу площади прямоугольника, чтобы найти стороны, а затем вычислили периметр. В четвертой задаче мы использовали свойства окружности, проходящей через вершины треугольника, и перпендикулярность отрезков, чтобы найти угол KCB. Важно помнить основные определения и свойства геометрических фигур, чтобы успешно решать такие задачи.