Билет №1 1. Дайте определение отрезка, луча, угла. Определение развернутого угла. Обозначение лучей и углов. 2. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF=12 см., ∠E=30°. Найдите гипотенузу DE. 4. Докажите, что угол 1 равен углу 2. (изображение треугольника)

Привет, ребята! Давайте разберем задачи из вашего билета. 1. Определения: * Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. * Луч – это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. * Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла). * Развернутый угол – это угол, стороны которого образуют прямую линию. Он равен 180 градусам. * Обозначения: Лучи обозначаются двумя заглавными буквами, где первая буква – начало луча. Углы обозначаются тремя буквами, где средняя буква – вершина угла. 2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. *Доказательство:* Предположим, у нас есть два треугольника: ( riangle ABC ) и ( riangle A_1B_1C_1 ), в которых ( AB = A_1B_1 ), ( AC = A_1C_1 ) и ( \angle A = \angle A_1 ). Наложим треугольник ( riangle ABC ) на ( riangle A_1B_1C_1 ) так, чтобы вершина ( A ) совпала с вершиной ( A_1 ), а сторона ( AB ) легла на сторону ( A_1B_1 ). Так как ( AB = A_1B_1 ), то точка ( B ) совпадет с точкой ( B_1 ). По условию, ( \angle A = \angle A_1 ), поэтому сторона ( AC ) наложится на сторону ( A_1C_1 ). Так как ( AC = A_1C_1 ), то точка ( C ) совпадет с точкой ( C_1 ). Следовательно, треугольники ( riangle ABC ) и ( riangle A_1B_1C_1 ) полностью совпадают, а значит, они равны. 3. Задача про треугольник DEF: В прямоугольном треугольнике ( DEF ) катет ( DF = 12 ) см, а угол ( \angle E = 30^circ ). Нужно найти гипотенузу ( DE ). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Но здесь у нас дан другой катет. Используем тригонометрию: \[ \sin E = \frac{DF}{DE} \] \[ \sin 30^circ = \frac{1}{2} \] Тогда: \[ \frac{1}{2} = \frac{12}{DE} \] \[ DE = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см} \] Ответ: DE = 24 см 4. Доказательство равенства углов 1 и 2: На рисунке изображен треугольник ( ABC ), в котором углы 1 и 2 – это углы при основании ( AC ). На рисунке видно, что стороны ( AB ) и ( BC ) равны (это указано отметками). Следовательно, треугольник ( ABC ) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ( \angle 1 = \angle 2 ). Что и требовалось доказать. Надеюсь, теперь все стало понятнее! Удачи на уроках!