Билет 12

1. Параллельные прямые и отрезки, аксиома параллельных прямых

Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельные отрезки - это отрезки, которые лежат на параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (Аксиома Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$

Следствия: Теоремы синусов и косинусов используются для решения треугольников, то есть для нахождения неизвестных сторон и углов по известным.

3. Внешний угол равнобедренного треугольника

Пусть дан равнобедренный треугольник. Внешний угол при одной из вершин при основании равен 64°. Найдем углы треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим их за $$x$$. Внешний угол при основании равен 64°, значит, внутренний угол при основании равен:

$$ x = 180° - 64° = 116° $$

Так как треугольник равнобедренный, то оба угла при основании равны 116°. Найдем угол при вершине:

$$ y = 180° - 2x = 180° - 2 \cdot 116° = 180° - 232° = -52° $$

Угол не может быть отрицательным, значит, внешний угол равен 64° при вершине, а не при основании. Значит, угол при вершине равен:

$$ y = 180° - 64° = 116° $$

Тогда углы при основании равны:

$$ x = \frac{180° - 116°}{2} = \frac{64°}{2} = 32° $$

Ответ: Углы треугольника равны 32°, 32° и 116°.

4. Доказательство равенства сторон AB и BC

Дано: OA = OC, ∠1 = ∠2. Доказать: AB = BC.

Рассмотрим треугольник AOC. Так как OA = OC, то треугольник AOC - равнобедренный с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠OAC = ∠OCA.

Рассмотрим треугольники AOB и COB. У них:

• OA = OC (по условию)
• ∠1 = ∠2 (по условию)
• OB - общая сторона

Следовательно, треугольники AOB и COB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AB = BC.

ЧТД.