Билет 7. 1. Дайте определение равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. 2. Докажите свойства смежных и вертикальных углов. 3. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 38 см, а угол В равен Найти катет ВС. 4. На рисунке AC II DB, CO=OD. Докажите равенство треугольников СОА и DOB.

Вопрос 1:

• Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием.
• Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.

Вопрос 2:

Смежные углы - это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую линию. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Доказательство: Пусть углы ∠AOB и ∠BOC смежные. Тогда луч OB общий, а лучи OA и OC образуют прямую AC. Следовательно, ∠AOC = 180°. Так как ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, то ∠AOB + ∠BOC = 180°.

Вертикальные углы - это два угла, образованные пересечением двух прямых, которые не являются смежными. Вертикальные углы равны.

Доказательство: Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O, образуя вертикальные углы ∠AOC и ∠BOD, а также ∠AOD и ∠BOC. Угол ∠AOC является смежным с углом ∠AOD, следовательно, ∠AOC + ∠AOD = 180°. Угол ∠BOD также является смежным с углом ∠AOD, следовательно, ∠BOD + ∠AOD = 180°. Из этих двух равенств следует, что ∠AOC = ∠BOD. Аналогично можно доказать, что ∠AOD = ∠BOC.

Вопрос 3:

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 38 см, и дан угол B. Нужно найти катет BC. Поскольку нам не дан угол B в градусах, обозначим его как $$ \beta $$.

В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу, равен гипотенузе, умноженной на косинус этого угла. То есть:

$$BC = AB \cdot cos(\beta)$$ $$BC = 38 \cdot cos(\beta)$$.

Если, например, угол B равен 60 градусам, то:

$$BC = 38 \cdot cos(60^\circ) = 38 \cdot \frac{1}{2} = 19$$ см.

Ответ: $$BC = 38 \cdot cos(\beta)$$ см. (где $$ \beta $$ - величина угла B). Если угол B равен 60 градусам, то BC = 19 см.

Вопрос 4:

Дано: AC || DB, CO = OD.

Доказать: Треугольники COA и DOB равны.

Доказательство:

1. CO = OD (по условию).
2. ∠COA = ∠DOB (как вертикальные углы).
3. ∠ACO = ∠BDO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DB и секущей CD).

Следовательно, треугольники COA и DOB равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).