Билет 3

1. Смежные углы и их свойство

Определение: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 180°.

2. Признак равенства треугольников по трем сторонам

Формулировка: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство (краткое):

1. Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.
2. Приложим треугольники так, чтобы сторона AC совпала со стороной A₁C₁, а вершины B и B₁ оказались по разные стороны от прямой AC.
3. Соединим точки B и B₁. Получим два равнобедренных треугольника: ABA₁ и BCB₁.
4. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то есть ∠ABA₁ = ∠BA₁A и ∠BCB₁ = ∠CBC₁.
5. Тогда ∠ABC = ∠ABA₁ + ∠CBC₁ = ∠A₁B₁A + ∠CB₁B = ∠A₁B₁C₁.
6. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Углы при пересечении двух прямых

Пусть при пересечении двух прямых один из углов равен 70°. При пересечении двух прямых образуются 4 угла. Два угла являются смежными, а два других - вертикальными.

Смежные углы:

Сумма смежных углов равна 180°. Если один угол равен 70°, то смежный с ним угол равен 180° - 70° = 110°.

Вертикальные углы:

Вертикальные углы равны. Значит, один из оставшихся углов тоже равен 70°, а другой - 110°.

Ответ: Остальные три угла равны 110°, 70° и 110°.

4. Угол FKM в треугольнике MPF

Дано: треугольник MPF, ∠M = 80°, ∠P = 40°, MK - биссектриса угла M, K лежит на FP.

Найти: ∠FKM.

Решение:

1. Найдем угол F треугольника MPF. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠F = 180° - ∠M - ∠P = 180° - 80° - 40° = 60°.
2. MK - биссектриса угла M, значит, ∠FMK = ∠M / 2 = 80° / 2 = 40°.
3. Рассмотрим треугольник FKM. В нем ∠F = 60°, ∠FMK = 40°. Следовательно, ∠FKM = 180° - ∠F - ∠FMK = 180° - 60° - 40° = 80°.

Ответ: ∠FKM = 80°.