Билет №12

1. Касательная к окружности

Определение: Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Теорема о свойстве касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке O и касательная a, касающаяся окружности в точке A. Проведем радиус OA. Предположим, что OA не перпендикулярен a. Тогда существует прямая OB, перпендикулярная a (где B - точка на прямой a). Тогда OB - перпендикуляр, а OA - наклонная к прямой a. Из геометрии известно, что перпендикуляр всегда короче наклонной, то есть OB < OA. Но OA - это радиус окружности, значит, и OB должен быть меньше радиуса. Следовательно, точка B находится внутри окружности. Тогда прямая a пересекает окружность в двух точках (B и A), что противоречит определению касательной. Значит, наше предположение неверно, и OA перпендикулярен a.

2. Подобные треугольники

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Если треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны с коэффициентом подобия k (то есть A₁B₁ = k * AB, B₁C₁ = k * BC, A₁C₁ = k * AC), то

$$ \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 $$

3. Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике основание равно 20 см, а угол между боковыми сторонами равен 120°. Нужно найти высоту, проведенную к основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, AC = 20 см, и угол ∠ABC = 120°. Проведем высоту BH к основанию AC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BH является также медианой и биссектрисой. Следовательно, AH = HC = AC / 2 = 20 / 2 = 10 см, а угол ∠ABH = ∠CBH = ∠ABC / 2 = 120° / 2 = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем ∠BAH = 90° - ∠ABH = 90° - 60° = 30°.

Теперь найдем длину боковой стороны AB. Используем синус угла ∠BAH:

$$ \sin(∠BAH) = \frac{BH}{AB} $$

Тогда

$$ AB = \frac{BH}{\sin(30°)} $$

Чтобы найти BH, используем тангенс угла ∠ABH:

$$ \tan(∠ABH) = \frac{AH}{BH} $$ $$ BH = \frac{AH}{\tan(60°)} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} $$

Подставляем значение BH в формулу для AB:

$$ AB = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} $$

Теперь у нас есть высота BH:

$$ BH = \frac{10\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: Высота, проведенная к основанию, равна $$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ см.

4. Прямоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а один из его катетов равен 6 см. Найти длину средней линии, параллельной другому катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, AC = 6 см, и площадь S = 24 см². Нужно найти длину средней линии, параллельной катету AC.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$ S = \frac{1}{2} * AC * BC $$

Подставляем известные значения:

$$ 24 = \frac{1}{2} * 6 * BC $$

Решаем уравнение относительно BC:

$$ BC = \frac{2 * 24}{6} = \frac{48}{6} = 8 $$

Значит, катет BC равен 8 см.

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине длины этой стороны:

Пусть MN - средняя линия, параллельная AC. Тогда

$$ MN = \frac{1}{2} * AC $$

Однако, нам нужна средняя линия, параллельная катету BC. Обозначим ее DE.

$$ DE = \frac{1}{2} * BC = \frac{1}{2} * 8 = 4 $$

Ответ: Длина средней линии, параллельной другому катету, равна 4 см.