Билет 2

Вопрос 1

Луч - это прямая, имеющая начало, но не имеющая конца. То есть, луч ограничен с одной стороны и бесконечен с другой.

Лучи обозначаются двумя заглавными буквами, где первая буква указывает на начало луча, а вторая - на какую-либо точку на луче. Например, луч OA.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки:

1. Из вершины угла проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает обе стороны угла.
2. В точках пересечения дуги со сторонами угла устанавливаем ножки циркуля и проводим две дуги с одинаковым радиусом, большим половины расстояния между точками пересечения.
3. Точка пересечения этих двух дуг и вершина угла определяют луч, который является биссектрисой угла.

Вопрос 2

Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, сторона AB наложилась на равную ей сторону A₁B₁, и вершины C и C₁ оказались по одну сторону от прямой A₁B₁. Тогда, так как ∠A = ∠A₁, сторона AC наложится на луч A₁C₁, а так как ∠B = ∠B₁, сторона BC наложится на луч B₁C₁. Следовательно, вершина C будет лежать как на луче A₁C₁, так и на луче B₁C₁, а значит, C совпадёт с точкой пересечения этих лучей – вершиной C₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают, а значит, они равны.

$$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $$

Вопрос 3

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть данный треугольник - ABC, где AB = BC, и ∠A = ∠C = 72°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол ∠B, лежащий против основания AC.

$$ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 72° - 72° = 180° - 144° = 36° $$

Ответ: Угол, лежащий против основания, равен 36°.

Вопрос 4

На прямой последовательно отмечены точки A, B, C, D. Дано: AC = 8 см, BD = 6 см, BC = 3 см. Найти AD.

Представим отрезки AC и BD как суммы отрезков:

$$ AC = AB + BC $$

$$ BD = BC + CD $$

Выразим AB и CD через известные значения:

$$ AB = AC - BC = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} = 5 \text{ см} $$

$$ CD = BD - BC = 6 \text{ см} - 3 \text{ см} = 3 \text{ см} $$

Теперь можем найти длину отрезка AD:

$$ AD = AB + BC + CD = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 11 \text{ см} $$

Ответ: AD = 11 см