Билет 2. 1. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какой луч называется биссектрисой угла? Объясните, как построить биссектрису данного угла с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании. Найти угол треугольника, лежащий против основания. 4. На прямой последовательно отмечены точки A,B,C,D, причем АС=8см, BD= 6см, ВС=3см. Найти AD.

1. Объяснение:

• Луч - это прямая, имеющая начало, но не имеющая конца.
• Лучи обозначаются двумя заглавными буквами, первая из которых - начало луча, а вторая - любая другая точка на луче. Например, луч AB.
• Биссектриса угла - это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
• Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки:
1. Из вершины угла проводим дугу произвольного радиуса, пересекающую обе стороны угла.
2. В точках пересечения дуги и сторон угла устанавливаем циркуль и проводим две дуги одинакового радиуса, большего половины расстояния между точками пересечения.
3. Точка пересечения этих двух дуг (внутри угла) и вершина угла определяют прямую, которая является биссектрисой угла.

2. Доказательство признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. Требуется доказать, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Доказательство:

Так как AB = A₁B₁, то треугольник A₁B₁C₁ можно наложить на треугольник ABC так, что вершина A₁ совпадет с вершиной A, а вершина B₁ - с вершиной B. При этом сторона A₁C₁ совместится с лучом AC, а сторона B₁C₁ совместится с лучом BC. Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.

Поскольку лучи AC и A₁C₁, BC и B₁C₁ соответственно совпадают, то точка пересечения этих лучей - точка C₁ - должна совпасть с точкой C. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают и, значит, равны.

3. Решение задачи о равнобедренном треугольнике:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при основании равен $$x$$. Тогда сумма углов при основании равна $$2x$$. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно, угол, лежащий против основания, равен $$180° - 2x$$.

Ответ: Угол, лежащий против основания, равен $$180° - 2x$$, где $$x$$ - угол при основании.

4. Решение задачи о точках на прямой:

На прямой последовательно расположены точки A, B, C, D. Известно, что AC = 8 см, BD = 6 см, BC = 3 см. Требуется найти AD.

Имеем:

$$AC = AB + BC$$

Отсюда:

$$AB = AC - BC = 8 - 3 = 5$$ см.

Также:

$$BD = BC + CD$$

Отсюда:

$$CD = BD - BC = 6 - 3 = 3$$ см.

Тогда:

$$AD = AB + BC + CD = 5 + 3 + 3 = 11$$ см.

Ответ: AD = 11 см.