Билет №1. 1. Определение медианы треугольника. Построение медиан в треугольнике, их свойство. 2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую третий признак равенства треугольников. Билет №2. 1. Назвать виды треугольников (по углам). 2. Сформулировать определение параллельных прямых. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Билет №3. 1. Дать определение Отрезка. 2. Сформулировать и доказать признак параллельности двух прямых об односторонних углах. Билет №4. 1. Определение биссектрисы треугольника. Построение биссектрис в треугольнике, их свойство. 2. Сформулировать и доказать свойство вертикальных углов. Билет №5. 1. Определение высоты треугольника. Построение высот в треугольнике, их свойство. 2. Сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников.

Привет! Сейчас я помогу тебе разобраться с этими билетами по геометрии. Билет №1 1. Определение медианы треугольника. * Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. * Свойство медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 2. Третий признак равенства треугольников. * Формулировка: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. * Доказательство: Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. $ \text{Нужно доказать, что } \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1. $ $ \begin{aligned} &\text{Доказательство:}\\ &\text{1. Наложим } \triangle ABC \text{ на } \triangle A_1B_1C_1 \text{ так, чтобы точка A совпала с точкой } A_1, \text{ точка B - с точкой } B_1.\\ &\text{Тогда, так как } AB = A_1B_1, \text{ сторона AB совпадёт со стороной } A_1B_1.\\ &\text{2. Возможны два случая:}\\ &\text{a) Точка C и точка } C_1 \text{ лежат по одну сторону от прямой } A_1B_1.\\ &\text{б) Точка C и точка } C_1 \text{ лежат по разные стороны от прямой } A_1B_1. \end{aligned} $ В обоих случаях нужно рассмотреть равенство треугольников и доказать, что углы тоже равны. Билет №2 1. Виды треугольников по углам: * Остроугольный: все углы острые (меньше 90°). * Прямоугольный: один угол прямой (равен 90°). * Тупоугольный: один угол тупой (больше 90°). 2. Параллельные прямые и соответственные углы. * Определение: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. * Формулировка теоремы: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. * Доказательство: Пусть прямые a и b пересечены секущей c, и соответственные углы равны. Предположим, что a и b не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке. Тогда можно доказать, что углы не могут быть равны, что противоречит условию. Следовательно, a и b параллельны. Билет №3 1. Определение отрезка: * Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек, лежащих между двумя данными точками (концами отрезка). 2. Признак параллельности прямых через односторонние углы. * Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. * Доказательство: Пусть даны две прямые a и b, пересеченные секущей c. Односторонние углы - это углы, лежащие по одну сторону от секущей. Если сумма этих углов равна 180°, то прямые a и b параллельны. Билет №4 1. Определение биссектрисы треугольника: * Биссектриса треугольника – это отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противоположной стороне и делящий этот угол пополам. * Свойство биссектрис: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. 2. Свойство вертикальных углов: * Формулировка: Вертикальные углы равны. * Доказательство: Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Если два угла вертикальные, то они равны. Билет №5 1. Определение высоты треугольника: * Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение). * Свойство высот: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. 2. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): * Формулировка: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. * Доказательство: Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и ∠A = ∠A₁. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, сторона AB наложилась на сторону A₁B₁, а сторона AC наложилась на сторону A₁C₁. Тогда, так как AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁, точки B и C совпадут с точками B₁ и C₁ соответственно. Следовательно, сторона BC совпадёт со стороной B₁C₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают и, следовательно, равны. Надеюсь, это поможет тебе подготовиться к уроку!