Билет 1

1. Определение отрезка. Обозначение отрезка. Середина отрезка. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства).

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.

Обозначение отрезка: Отрезок с концами в точках A и B обозначается как AB или BA.

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части, то есть на два отрезка одинаковой длины.

Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки:

1. Проведите отрезок AB.
2. Постройте две окружности с центрами в точках A и B и радиусом больше половины длины отрезка AB.
3. Окружности пересекутся в двух точках, назовем их C и D.
4. Проведите прямую CD. Эта прямая пересечет отрезок AB в точке O.
5. Точка O является серединой отрезка AB.

2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Формулировка признака: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, а сторона AB наложилась на сторону A₁B₁. Так как AB = A₁B₁, то вершина B совпадёт с вершиной B₁.

Так как ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, то сторона AC наложится на сторону A₁C₁. Так как AC = A₁C₁, то вершина C совпадёт с вершиной C₁.

Следовательно, вершины A, B и C треугольника ABC совпадают с вершинами A₁, B₁ и C₁ треугольника A₁B₁C₁ соответственно. Значит, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают и, следовательно, равны.

Что и требовалось доказать.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°.

Решение:

1. Найдем угол ACB треугольника ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 46° - 78° = 56°$$

2. Так как CE - биссектриса угла ACB, то она делит угол ACB пополам. Следовательно:

$$∠BCE = \frac{1}{2} ∠ACB = \frac{1}{2} * 56° = 28°$$

Ответ: ∠BCE = 28°

4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы.

Решение:

Пусть вертикальные углы равны x. Тогда их сумма равна 2x. Смежный с ними угол обозначим как y.

По условию задачи, сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного угла: 2x = 3y.

Также известно, что смежные углы в сумме составляют 180°: x + y = 180°.

Выразим y из второго уравнения: y = 180° - x.

Подставим это выражение в первое уравнение: 2x = 3(180° - x).

Решим полученное уравнение: 2x = 540° - 3x

5x = 540°

$$x = \frac{540}{5} = 108°$$

Итак, вертикальные углы равны 108°.

Ответ: 108°