Билет 7. 1. Определение равнобедренного треугольника. Равносторонний треугольник. Сформулировать свойства равнобедренного треугольника. 2. Доказать свойства смежных и вертикальных углов. 3. Углы треугольника АВС относятся так: ZA : Z.B : Z.C=3:4:5. Найдите углы этого треугольника. 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 7. Найдите длину стороны AC.

Задача 3:

Пусть углы треугольника ABC относятся как 3:4:5. Это означает, что мы можем представить углы как 3x, 4x и 5x, где x – некоторая переменная.

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно:

$$3x + 4x + 5x = 180$$

Складываем подобные члены:

$$12x = 180$$

Делим обе части уравнения на 12, чтобы найти x:

$$x = \frac{180}{12} = 15$$

Теперь, когда мы знаем значение x, можем найти каждый угол треугольника:

• Угол A: $$3x = 3 \cdot 15 = 45$$ градусов
• Угол B: $$4x = 4 \cdot 15 = 60$$ градусов
• Угол C: $$5x = 5 \cdot 15 = 75$$ градусов

Ответ: Углы треугольника ABC равны 45°, 60° и 75°.

Задача 4:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота, проведённая из вершины A, равна 7. Найдите длину стороны AC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, углы при основании равны, то есть угол A равен углу C. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Зная, что угол B равен 120°, можем найти углы A и C:

$$A + B + C = 180$$ $$A + 120 + C = 180$$

Так как A = C:

$$2A + 120 = 180$$ $$2A = 180 - 120$$ $$2A = 60$$ $$A = 30$$

Значит, угол A (и угол C) равен 30 градусам.

Опустим высоту из вершины A к стороне BC (назовем точку пересечения H). AH = 7 (дано). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол ABH = 120°, a угол BAH = 30°.

Используем синус угла BAH для нахождения стороны AB:

$$sin(BAH) = \frac{BH}{AB}$$

Но проще рассмотреть катет, лежащий против угла 30 градусов, который равен половине гипотенузы AB. То есть, BH = 1/2 * AB, отсюда AB = 2 * BH = 2 * 7 = 14.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из B на сторону AC (пусть точка пересечения - K). Угол ACK = 30°, BK - высота. Тогда AK = AB * cos(30) = 14 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}

Так как высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является и медианой, то AC = 2 * AK.

Следовательно, $$AC = 2 \cdot 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$$

Ответ: Длина стороны AC равна $$14\sqrt{3}$$.