Билет 8

1. Определение треугольника. Теорема о сумме углов треугольника.

Определение треугольника: Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

Математически это можно записать так:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

Где ∠A, ∠B и ∠C - углы треугольника.

2. Выбрать верные утверждения. Обосновать ответ.

а) При пересечении двух прямых образовалось три тупых и один острый угол;

Ответ: Неверно. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Если один угол острый, то вертикальный ему тоже острый. Соответственно, два других угла должны быть тупыми. Таким образом, не может быть три тупых и один острый угол. Сумма смежных углов должна быть равна 180 градусам. Если один угол острый (меньше 90 градусов), то смежный с ним угол должен быть тупым (больше 90 градусов), чтобы их сумма была 180 градусов. То есть углы всегда попарно равны и смежные углы в сумме дают 180 градусов.

б) Треугольник может иметь два тупых угла;

Ответ: Неверно. Если бы в треугольнике было два тупых угла (т.е. два угла больше 90 градусов), то их сумма была бы больше 180 градусов. Но сумма всех трех углов треугольника должна быть равна 180 градусам. Следовательно, треугольник не может иметь два тупых угла.

в) Существует треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см;

Ответ: Верно. Чтобы проверить, может ли существовать треугольник с заданными сторонами, нужно проверить неравенство треугольника для каждой стороны. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим для сторон 2 см, 3 см и 4 см:

1. 2 + 3 > 4 (5 > 4) - верно
2. 2 + 4 > 3 (6 > 3) - верно
3. 3 + 4 > 2 (7 > 2) - верно

Так как все неравенства выполняются, то треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 4 см существует.

3. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая c, пересекающая их.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов, которые можно разделить на несколько групп:

• 4 острых угла и 4 тупых угла, если секущая не перпендикулярна параллельным прямым
• Все 8 углов прямые (равны 90 градусам), если секущая перпендикулярна параллельным прямым

Рассмотрим случай, когда секущая не перпендикулярна параллельным прямым. Обозначим углы цифрами от 1 до 8.

1 и 2 - смежные, их сумма равна 180 градусам.

1 и 3 - вертикальные, следовательно, равны.

1 и 5 - соответственные, следовательно, равны.

3 и 5 - внутренние односторонние, их сумма равна 180 градусам.

3 и 6 - накрест лежащие, следовательно, равны.

Если известен хотя бы один из этих углов, можно найти и все остальные, используя свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Например, пусть угол 1 равен 60 градусам. Тогда:

• Угол 3 = угол 1 = 60 градусов (вертикальные углы)
• Угол 5 = угол 1 = 60 градусов (соответственные углы)
• Угол 7 = угол 5 = 60 градусов (вертикальные углы)
• Угол 2 = 180 - угол 1 = 180 - 60 = 120 градусов (смежные углы)
• Угол 4 = угол 2 = 120 градусов (вертикальные углы)
• Угол 6 = угол 2 = 120 градусов (соответственные углы)
• Угол 8 = угол 6 = 120 градусов (вертикальные углы)