Билет 3. 1. Определение угла. Обозначение угла. Построение угла, равного данному (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по трем сторонам. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине. 4. Углы треугольника АВС относятся так: ZA:ZB:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Билет 3.

1. Определение угла:

   Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называются сторонами угла, а их общая начальная точка — вершиной угла.

   Обозначение угла:

   Угол можно обозначать тремя буквами (например, ∠ABC, где B — вершина угла) или одной буквой (например, ∠B, если понятно, о каком угле идёт речь).

   Построение угла, равного данному (без доказательства):

   1. На листе бумаги начертите луч с началом в точке O.
   2. На данном угле (∠ABC) из вершины B проведите окружность произвольного радиуса, которая пересечёт стороны угла в точках D и E.
   3. На начерченном луче из точки O проведите окружность того же радиуса, что и в предыдущем шаге. Она пересечёт луч в точке F.
   4. Из точки F проведите окружность с радиусом, равным расстоянию между точками D и E.
   5. Эта окружность пересечёт первую окружность в точке G.
   6. Проведите луч OG. Угол ∠GОF равен углу ∠ABC.

2. Признак равенства треугольников по трем сторонам:

   Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Дано: равнобедренный треугольник, угол при основании равен 72°.

   Найти: угол при вершине.

   Решение:

   1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, второй угол при основании также равен 72°.
   2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому угол при вершине равен 180° - 72° - 72° = 36°.

   Ответ: 36°

4. Дано: углы треугольника АВС относятся как ∠A:∠B:∠C=1:2:3, биссектриса ВМ угла АВС равна 6.

   Найти: длину отрезка МС.

   Решение:

   1. Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, x + 2x + 3x = 180°.
   2. 6x = 180°, x = 30°. Следовательно, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.
   3. Т.к. ВМ - биссектриса угла В, то ∠ABM = ∠CBM = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.
   4. Рассмотрим треугольник АВМ. В нём ∠A = 30°, ∠ABM = 30°, значит, треугольник равнобедренный, и АМ = ВМ = 6.
   5. Т.к. ∠C = 90°, то треугольник АВС - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, ВС = 1/2 АВ.
   6. Рассмотрим треугольник ВМС. В нём ∠MBC = 30°, ∠C = 90°, значит, ∠BMC = 180° - 30° - 90° = 60°.
   7. По теореме синусов: \(\frac{MC}{\sin{\angle MBC}} = \frac{BC}{\sin{\angle BMC}}\), \(\frac{MC}{\sin{30°}} = \frac{BC}{\sin{60°}}\)
   8. MC = \(\frac{BC \cdot \sin{30°}}{\sin{60°}} = \frac{BC \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\sqrt{3}}\)
   9. В треугольнике ABC: AB = 2BC. AM + MC = AC.

   Для решения этой задачи не хватает данных. Необходимо знать длину стороны АС.

   Предположим, что треугольник BМС - прямоугольный, тогда отрезок МС является катетом, противолежащим углу в 30 градусов.

   Так как ВМ - биссектриса, то ∠АВМ = ∠CВМ = 30°.

   Рассмотрим треугольник ABМ: ∠АВМ = 30°, ∠А = 30°, следовательно, АМ = ВМ = 6.

   Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠А+∠В+∠С = 180°.

   Подставим известные значения: 30°+60°+90° = 180°.

   В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы АВ, то есть ВС = 1/2АВ.

   В прямоугольном треугольнике ВМС катет МС, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ВМ, то есть МС = 1/2ВМ = 1/2 * 6 = 3.

   Ответ: 3