Билет 9 1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей, соответственные углы равны. 3. Найдите все неизвестные углы треугольника АВС. 4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

1. Определение внешнего угла треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из углов этого треугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

2. Доказательство равенства соответственных углов при пересечении двух параллельных прямых секущей.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая c, пересекающая их. Обозначим углы, образованные при пересечении, цифрами 1-8. Нужно доказать, что соответственные углы равны, например, ∠1 = ∠5.

Доказательство:

1. ∠1 и ∠3 - вертикальные углы, следовательно, ∠1 = ∠3.
2. ∠3 и ∠5 - внутренние односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей c. Так как прямые a и b параллельны, то ∠3 = ∠5.
3. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠3 = ∠5 следует, что ∠1 = ∠5.

Аналогично доказывается равенство и других пар соответственных углов.

3. Найдите все неизвестные углы треугольника АВС.

На рисунке даны: внешний угол при вершине A, равный 110°, и угол B, равный 40°.

Найдем угол A (внутренний):

$$∠A = 180° - 110° = 70°$$

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

$$70° + 40° + ∠C = 180°$$

$$∠C = 180° - 70° - 40° = 70°$$

Ответ: ∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 70°

4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Дано: ΔABC, ∠A = 40°, ∠C = 60°, BH - высота, BD - биссектриса.

Найти: угол между BH и BD, т.е. ∠HBD.

Решение:

1. Найдем ∠B треугольника ABC:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°$$

2. BD - биссектриса угла B, значит, ∠ABD = ∠CBD = ∠B / 2:

$$∠ABD = ∠CBD = 80° / 2 = 40°$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (т.к. BH - высота, то ∠AHB = 90°). Найдем ∠ABH:

$$∠ABH = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°$$

4. Теперь найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD, т.е. ∠HBD:

$$∠HBD = |∠ABH - ∠ABD| = |50° - 40°| = 10°$$

Ответ: 10°