Билет № 1 по геометрии в 8 классе в 2024 году. 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору. 3) Радиус ОВ окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD-1см, а радиус окружности равен 5см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

1) Определения и формула:

• Многоугольник — это геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из отрезков.
• Вершина многоугольника — это точка соединения двух соседних сторон многоугольника.
• Сторона многоугольника — это отрезок, соединяющий две соседние вершины многоугольника.
• Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника.
• Периметр многоугольника — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Формула суммы углов выпуклого многоугольника:

$$S = 180°(n - 2)$$

где S - сумма углов, n - количество сторон многоугольника.

2) Теоремы о средней линии:

• Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.
• Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство теоремы о средней линии треугольника:

Пусть дан треугольник ABC, где M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок MN - средняя линия треугольника ABC. Нужно доказать, что MN || AC и MN = 1/2 * AC.

Доказательство:

Проведем прямую, параллельную AC, через точку B. Продолжим отрезок MN до пересечения с этой прямой в точке P. Рассмотрим треугольники MBN и PBN. У них BN = NC (по условию), углы MNB и CNP равны как вертикальные, и углы NBM и NPC равны как накрест лежащие. Следовательно, треугольники MBN и PBN равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда MN = NP и MB = BP.

Так как MB = AM (по условию), то AM = BP. Также AM || BP (по построению). Следовательно, четырехугольник AMPB - параллелограмм (по признаку параллелограмма). Отсюда MP || AB и MP = AB. Так как MN = 1/2 * MP (по доказанному), то MN = 1/2 * AC. Таким образом, средняя линия MN параллельна стороне AC и равна ее половине.

3) Задача с окружностью:

Пусть O - центр окружности, OB - радиус, пересекающий хорду AC в точке D и перпендикулярный ей. BD = 1 см, радиус OB = 5 см. Нужно найти длину хорды AC.

Так как OB перпендикулярен AC, то D - середина AC. Значит, AD = DC. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAD. OA - радиус окружности (5 см), OD = OB - BD = 5 см - 1 см = 4 см. По теореме Пифагора, $$OA^2 = OD^2 + AD^2$$.

Тогда $$AD^2 = OA^2 - OD^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$$.

Следовательно, $$AD = \sqrt{9} = 3$$ см.

Так как D - середина AC, то AC = 2 * AD = 2 * 3 = 6 см.

Ответ: 6 см

4) Задача с прямоугольником:

Периметр прямоугольника равен 56, диагональ равна 20. Нужно найти площадь прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда периметр P = 2(a + b) = 56, следовательно, a + b = 28. Диагональ d = 20. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = d^2 = 20^2 = 400$$.

Выразим b через a: b = 28 - a. Подставим в уравнение $$a^2 + b^2 = 400$$.

$$a^2 + (28 - a)^2 = 400$$

$$a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400$$

$$2a^2 - 56a + 384 = 0$$

$$a^2 - 28a + 192 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = $$(-28)^2 - 4 * 192 = 784 - 768 = 16$$.

Корни уравнения: $$a_1 = (28 + \sqrt{16}) / 2 = (28 + 4) / 2 = 16$$ и $$a_2 = (28 - \sqrt{16}) / 2 = (28 - 4) / 2 = 12$$.

Если a = 16, то b = 28 - 16 = 12. Если a = 12, то b = 28 - 12 = 16. В любом случае, стороны прямоугольника равны 12 и 16.

Площадь прямоугольника S = a * b = 12 * 16 = 192.

Ответ: 192