Билет 12

1. Равнобедренный треугольник. Признак равнобедренного треугольника.

Определение: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием.

Признаки равнобедренного треугольника:

• Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
• Если медиана треугольника, проведённая к стороне, является высотой, то этот треугольник равнобедренный.
• Если медиана треугольника, проведённая к стороне, является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
• Если высота треугольника, проведённая к стороне, является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

2. Выбрать верные утверждения. Обосновать ответ.

а) Сумма острых углов прямоугольного треугольника обязательно равна 90°.

Это верное утверждение. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, сумма двух других углов (острых) равна 180° - 90° = 90°.

б) Катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

Это не всегда верное утверждение. Это верно только в случае, если катет лежит против угла в 30°. В общем случае это не верно.

в) Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это верное утверждение. Это второй признак равенства треугольников.

Правильные ответы: а и в

3. Найдите длину отрезка АМ и градусную меру угла АВК, если ВМ - медиана, а ВК - биссектриса треугольника АВС.

К сожалению, для решения этой задачи недостаточно данных. Необходимо знать хотя бы длины сторон или величины углов треугольника ABC.

Объяснение:

• Медиана BM делит сторону AC пополам, то есть AM = MC. Если известна длина AC, то AM = AC / 2.
• Биссектриса BK делит угол ABC пополам, то есть угол ABK = угол KBC. Если известен угол ABC, то угол ABK = ABC / 2.