Билет №14 1. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Докажите свойство внешнего угла треугольника. 3. Доказать, что прямые a и b параллельны. 4. В прямоугольном треугольнике KPE ∠P=90°, ∠K=60°. На катете PE отметили точку M такую, что ∠KMP=60°. Найдите PM, если EM = 16 см. Билет №15 1. Дайте определение секущей? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение. 3. Луч BD проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол DBC, если ∠ABC = 63°, ∠ABD = 51°. 4. В треугольнике ABC (AB=BC) на сторонах AB и BC отложены равные отрезки AM и CN соответственно. Докажите, что AN=CM.

Разберем задачи из билетов. Билет №14 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников: * По двум катетам. * По катету и прилежащему острому углу. * По катету и противолежащему острому углу. * По гипотенузе и острому углу. * По гипотенузе и катету. 2. Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. 3. Доказать, что прямые a и b параллельны: Чтобы доказать, что прямые a и b параллельны, нужно показать, что соответственные углы, накрест лежащие углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°. На рисунке даны угол 47° и угол 133°. Они являются односторонними углами при пересечении прямых a и b секущей. Их сумма равна 47° + 133° = 180°. Следовательно, прямые a и b параллельны. 4. Найти PM: В прямоугольном треугольнике KPE ∠P = 90°, ∠K = 60°. Значит, ∠E = 180° - 90° - 60° = 30°. Рассмотрим треугольник KMP. В нём ∠KMP = 60°, ∠K = 60°, следовательно, ∠MKP = 180° - 60° - 60° = 60°. Значит, треугольник KMP равносторонний. Так как ∠KMP = 60°, то ∠PME = 180° - 60° = 120°. Рассмотрим треугольник PME. В нём ∠P = 90°, ∠PEM = 30°, следовательно, ∠PME = 180° - 90° - 30° = 60°. По условию EM = 16 см. В прямоугольном треугольнике PME катет PE лежит против угла в 30°, значит, PE = EM / 2 = 16 / 2 = 8 см. Так как треугольник KMP равносторонний, то KM = MP = KP. Также известно, что KP = PE = 8 см. Тогда PM = 8 см. Ответ: PM = 8 см. Билет №15 1. Определение секущей: Секущей называется прямая, пересекающая две или более прямых. Пары углов, образующиеся при пересечении двух прямых секущей: соответственные, накрест лежащие, односторонние. 2. Свойство катета, лежащего против угла в 30°: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. 3. Найти угол DBC: Дано: ∠ABC = 63°, ∠ABD = 51°. Так как луч BD проходит между сторонами угла ABC, то ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD. ∠DBC = 63° - 51° = 12°. Ответ: ∠DBC = 12°. 4. Доказать, что AN=CM: Дано: AB = BC, AM = CN Доказать: AN = CM Решение: Так как AB = BC и AM = CN, то BM = AB - AM = BC - CN = BN. Рассмотрим треугольники ABN и CBM. У них AB = BC, BN = BM и ∠B - общий. Следовательно, треугольники ABN и CBM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AN = CM. Что и требовалось доказать.