Билет №1

1. Виды треугольников по длине сторон. Периметр треугольника.
2. Смежные углы (определение). Теорема о сумме смежных углов (доказательство).

3. Задача: На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

   Обозначим середину отрезка BC точкой M. Координаты точки A (1; 4), координаты точки B (1; 1), координаты точки C (0; 1). Найдем координаты точки M, как середины отрезка BC:

   $$M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{1 + 0}{2} = 0.5$$ $$M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$$

   Координаты точки M (0.5; 1). Найдем расстояние от точки A до точки M:

   $$AM = \sqrt{(A_x - M_x)^2 + (A_y - M_y)^2} = \sqrt{(1 - 0.5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (3)^2} = \sqrt{0.25 + 9} = \sqrt{9.25} \approx 3.04$$

   Ответ: расстояние от точки А до середины отрезка ВС приблизительно равно 3.04 см.

4. Задача: Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. АO=OC, BO=OD. При проведении отрезков АВ и CD образуются треугольники ВАО и OCD. Докажите, что Δ ВАО=Δ OCD.

   Рассмотрим треугольники ΔBAO и ΔOCD.

   AO = OC (по условию)

   BO = OD (по условию)

   ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы)

   Следовательно, ΔBAO = ΔOCD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

   Что и требовалось доказать.