Билет 10. Задача 3. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 76°. Найдите углы треугольника.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных треугольников и внешних углов.

1. Вспомним свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
2. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, находящейся при основании, равен 76°.
   • Случай 2: Внешний угол при вершине, противолежащей основанию, равен 76°.

Случай 1: Внешний угол при вершине основания равен 76°.

Пусть данный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Внешний угол при вершине A равен 76°.

1. Обозначим ∠BAC = ∠BCA = x (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
2. Тогда внешний угол при вершине A равен 180° - x.
3. По условию, 180° - x = 76°.
4. Решим уравнение: x = 180° - 76° = 104°.
5. Таким образом, ∠BAC = ∠BCA = 104°.
6. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 104° - 104° = -28°.

Этот случай невозможен, так как угол не может быть отрицательным.

Случай 2: Внешний угол при вершине, противолежащей основанию, равен 76°.

Пусть данный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 76°.

1. Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠ABC.
2. По условию, 180° - ∠ABC = 76°.
3. Решим уравнение: ∠ABC = 180° - 76° = 104°.
4. Так как треугольник равнобедренный, ∠BAC = ∠BCA.
5. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
6. Пусть ∠BAC = ∠BCA = y. Тогда 2y + 104° = 180°.
7. Решим уравнение: 2y = 180° - 104° = 76°.
8. y = 76° / 2 = 38°.
9. Таким образом, ∠BAC = ∠BCA = 38°.

Ответ: Углы треугольника равны 38°, 38° и 104°.