Билет 1. 1. Определение окружности, хорды и диаметра и их свойства. 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. Укажите номера верных утверждений: 1. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка 2. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны 3. Все хорды одной окружности равны между собой. 4. В прямоугольном треугольнике АВС (<С=90) биссектрисы СД и АЕ пересекаются в точке O. <AOC=112. Найти острые углы треугольника АВС

Билет 1

Задание 3. Верные утверждения

1. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Это утверждение верно. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Это утверждение неверно. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Они не обязательно перпендикулярны.

3. Все хорды одной окружности равны между собой.

Это утверждение неверно. Хорды одной окружности могут иметь разную длину. Равны между собой только хорды, удалённые на одинаковое расстояние от центра окружности, или хорды, стягивающие равные дуги.

Ответ: 1.

Задание 4. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \)
• CD — биссектриса угла C
• AE — биссектриса угла A
• Точка пересечения биссектрис O
• \( \angle AOC = 112^\circ \)

Найти: острые углы \( \angle A \) и \( \angle B \) треугольника ABC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. \( \angle OAC = \angle A / 2 \) (так как AE — биссектриса).
3. \( \angle OCA = \angle C / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ \) (так как CD — биссектриса).
4. В треугольнике AOC: \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ \).
5. Подставим известные значения: \( 112^\circ + \angle A / 2 + 45^\circ = 180^\circ \).
6. \( \angle A / 2 + 157^\circ = 180^\circ \).
7. \( \angle A / 2 = 180^\circ - 157^\circ = 23^\circ \).
8. \( \angle A = 23^\circ \cdot 2 = 46^\circ \).
9. Теперь найдём \( \angle B \) в прямоугольном треугольнике ABC. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
10. \( \angle A + \angle B = 90^\circ \).
11. \( 46^\circ + \angle B = 90^\circ \).
12. \( \angle B = 90^\circ - 46^\circ = 44^\circ \).

Ответ: \( \angle A = 46^\circ \), \( \angle B = 44^\circ \).