Билет №10 1. Определение прямоугольного треугольника и его сторон. 2. Формула Герона (с рисунком). 3. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. 4. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.

Решение:

Билет №10

• 1. Определение прямоугольного треугольника и его сторон:

  Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).

  Стороны прямоугольного треугольника:

  • Катеты — стороны, прилежащие к прямому углу.
  • Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Гипотенуза всегда длиннее катетов.
• 2. Формула Герона:

  Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по длинам трех его сторон.

  Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Полупериметр p вычисляется как: $$p = \frac{a+b+c}{2}$$

  Площадь (S) вычисляется по формуле:

  \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

  (Для рисунка требуется графический редактор. Изображается произвольный треугольник с обозначенными сторонами a, b, c и полупериметром p).

• 3. Сторона и площадь ромба:
  • Площадь ромба по диагоналям вычисляется как половина произведения диагоналей: $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$
  • $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 5 \cdot 24 \text{ см}^2 = 120 \text{ см}^2$$.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Образуются четыре прямоугольных треугольника с катетами $$d_1/2$$ и $$d_2/2$$.
  • Катеты равны: 10/2 = 5 см и 24/2 = 12 см.
  • Сторона ромба (a) является гипотенузой этих треугольников. По теореме Пифагора: $$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$$
  • $$a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$
  • $$a = \sqrt{169} = 13$$ см.

  Ответ: Сторона ромба — 13 см, площадь — 120 см²

• 4. Стороны прямоугольника:
  • Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру окружности.
  • Диаметр окружности = 2 * радиус = 2 * 5 см = 10 см.
  • Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Диагональ (d) равна 10 см.
  • По теореме Пифагора: a² + b² = d².
  • Одна из сторон равна 8 см. Пусть a = 8 см.
  • 8² + b² = 10²
  • 64 + b² = 100
  • b² = 100 - 64 = 36
  • b = √36 = 6 см.

  Ответ: Стороны прямоугольника — 8 см и 6 см.