Билет №9 1. Признаки подобия треугольников. 2. Сформулировать теорему о площади квадрата (с рисунком и условием). 3. Отрезки АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 108°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах. 4. В прямоугольном треугольнике с острым углом 45° гипотенуза равна 32см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

1. Признаки подобия треугольников:
   • По двум углам: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
   • По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
   • По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Теорема о площади квадрата: Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Дано: квадрат ABCD, сторона a. Доказать: S = a². Доказательство: Квадрат является частным случаем прямоугольника, поэтому его площадь равна произведению двух смежных сторон: S = a ⋅ a = a².
3. Угол АСВ: Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол AOD = 108°. Угол BOC = Угол AOD (вертикальные углы) = 108°. Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен углу AOB. Угол AOB = 180° - Угол AOD = 180° - 108° = 72°. Так как угол АСВ вписанный, то он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: Угол АСВ = Угол AOB / 2 = 72° / 2 = 36°.
4. Площадь прямоугольного треугольника: Если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 45°, то и другой острый угол равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Катеты его равны. Пусть катеты равны x. По теореме Пифагора: x² + x² = 32² => 2x² = 1024 => x² = 512. Площадь прямоугольного треугольника S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * x * x = (1/2) * x² = (1/2) * 512 = 256 см².

Ответ: 1. По двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам. 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 3. 36°. 4. 256 см².