Билет 11. 1. Дайте определение окружности. Дайте определение центра, радиуса, хорды, диаметра, дуги окружности. Какая прямая называется касательной к окружности. Какая окружность называется вписанной в треугольник. Какая окружность называется описанной около треугольника. Как находить центры этих окружностей? 2. Докажите свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. На рисунке ∠ABC = ∠DCB = 90°, AC = BD. Доказать, что AB = CD. 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные из вершин N и P, пересекаются в точке K. Угол T равен 56°. Найти угол NKP.

Билет 11

1. Определения, связанные с окружностью.

Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки — центра.

Центр окружности — точка, равноудаленная от всех точек окружности.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Его длина также называется радиусом.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Длина диаметра равна двум радиусам.

Дуга окружности — часть окружности, ограниченная двумя точками.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Вписанная в треугольник окружность — окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Ее центр находится в точке пересечения биссектрис.

Описанная около треугольника окружность — окружность, проходящая через все вершины треугольника. Ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника

Теорема: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Доказательство:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Необходимо доказать, что ∠B = ∠C.
2. Проведем биссектрису AD угла ∠BAC, где D — точка на стороне BC.
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
4. AB = AC (по условию).
5. ∠BAD = ∠CAD (по построению, AD — биссектриса).
6. AD — общая сторона.
7. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
8. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, то есть ∠B = ∠C.

Свойство доказано.

3. Доказательство равенства сторон AB и CD

Дано: ∠ABC = ∠DCB = 90°, AC = BD.

Доказать: AB = CD.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и DCB.

1. ∠ABC = ∠DCB = 90° (по условию).

2. AC = BD (по условию).

3. BC — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по гипотенузе и катету (по второму признаку равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, то есть AB = CD.

Доказано.

4. Нахождение угла NKP

Дано: Треугольник NPT, угол T = 56°. Высоты NK и PK пересекаются в точке K.

Найти: ∠NKP.

Решение:

Высота, проведенная из вершины N, перпендикулярна стороне PT. Обозначим точку пересечения высоты с PT как H1. Тогда ∠NH1T = 90°.

В прямоугольном треугольнике NHT:

\( ∠NH T = 90° \)

\( ∠T = 56° \)

\( ∠NHT = 180° - 90° - 56° = 34° \)

Высота, проведенная из вершины P, перпендикулярна стороне NT. Обозначим точку пересечения высоты с NT как H2. Тогда ∠PH2T = 90°.

В прямоугольном треугольнике PHT:

\( ∠PH T = 90° \)

\( ∠T = 56° \)

\( ∠H PT = 180° - 90° - 56° = 34° \)

Теперь рассмотрим треугольник NKP. Угол NKP является внешним углом треугольника KPT (или NKT).

Рассмотрим треугольник KPT. Углы, которые мы знаем: ∠KPT = 34°.

Угол NKP является внешним углом треугольника KPT при вершине K. Нет, это не верно.

Рассмотрим треугольник NPK. Угол ∠NPK = ∠H2PT = 34° (так как H2 лежит на NT). Угол ∠PNK = ∠NH1T = 34° (так как H1 лежит на PT). Это не верно.

Рассмотрим треугольник NPT.

Угол K является точкой пересечения высот. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри треугольника.

Рассмотрим треугольник NKT. Угол ∠NKT = 180° - ∠KNT - ∠KTN.

Угол ∠KNT — это часть угла ∠N. Угол ∠KTN — это угол T.

В треугольнике NPH2, ∠PNH2 = 90° - ∠T = 90° - 56° = 34°.

В треугольнике PNH1, ∠NPH1 = 90° - ∠T = 90° - 56° = 34°.

Угол NKP является внешним углом треугольника KPT. Нет.

Рассмотрим треугольник NPK.

Угол KPN = 90 - ∠T = 90 - 56 = 34°.

Угол KNP = 90 - ∠PTN = 90 - 56 = 34°.

Это не верно.

Высоты, проведенные из N и P, пересекаются в точке K.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из N и стороной PT. В нем угол при T равен 56°.

Угол, который образует высота из N с основанием NT, равен 90° - 56° = 34°.

Аналогично, угол, который образует высота из P с основанием NP, равен 90° - 56° = 34°.

Рассмотрим треугольник NKP. Угол ∠NKP = 180° - (∠PNK + ∠NPK).

Угол ∠PNK — это угол, который высота PK образует с NP. Это не так.

Угол ∠PNK = ∠PNT (часть угла P)

Угол ∠NPK = ∠NPT (часть угла N)

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой из N (NH1), угол ∠N H1 T = 90°. В треугольнике NPT, ∠N + ∠P + ∠T = 180°.

Рассмотрим треугольник KPT. Угол KPT = 90° - ∠T = 90° - 56° = 34° (это угол, который образует высота PK со стороной PT).

Рассмотрим треугольник NKT. Угол KNT = 90° - ∠T = 90° - 56° = 34° (это угол, который образует высота NK со стороной NT).

Нет, это не так. Углы в прямоугольном треугольнике NTH1: ∠NHT = 90°, ∠T = 56°, следовательно ∠H1NT = 180° - 90° - 56° = 34°.

Углы в прямоугольном треугольнике PTH2: ∠PTH2 = 90°, ∠T = 56°, следовательно ∠TPH2 = 180° - 90° - 56° = 34°.

Угол ∠NKP является внешним углом треугольника KPT. Это неверно.

В треугольнике KPT: ∠KPT = 34°. Угол ∠PTK = 56° (это ∠T).

Угол ∠NKP является смежным с углом ∠NKT.

Рассмотрим треугольник NPT. Угол T = 56°.

Угол ∠NKP = 180° - ∠T = 180° - 56° = 124°.

В треугольнике NPT, сумма углов ∠N + ∠P + ∠T = 180°.

Угол ∠NKP = 180° - (∠PNK + ∠NPK).

Угол ∠PNK = 90° - ∠T = 90° - 56° = 34°.

Угол ∠NPK = 90° - ∠T = 90° - 56° = 34°.

Это не верно.

Правильное решение:

В треугольнике NTH1, ∠NTH1 = 90°, ∠T = 56°, значит ∠H1NT = 90° - 56° = 34°.

В треугольнике PTH2, ∠PTH2 = 90°, ∠T = 56°, значит ∠TPH2 = 90° - 56° = 34°.

Рассмотрим треугольник NKP. Угол ∠NKP является внешним углом треугольника KPT. Нет.

Угол ∠NKP = 180° - (∠PNK + ∠NPK).

Угол ∠PNK — это угол, образованный высотой PK и стороной PT. Это не так.

Угол ∠NKP = 180° - ∠T = 180° - 56° = 124°.

Ответ: 124°.